理论力学经典振动

理论力学经典课件振动第1页，课件共83页，创作于2023年2月

引言

振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。

物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。

振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。第2页，课件共83页，创作于2023年2月

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。第3页，课件共83页，创作于2023年2月

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。

研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗贝尔原理。分析动力学基础中的－拉格朗日方程。第4页，课件共83页，创作于2023年2月

按激励特性划分：振动问题的分类

自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。

参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。

自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。

受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。第5页，课件共83页，创作于2023年2月

按系统特性或运动微分方程类型划分：

线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。

非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。

按系统的自由度划分：

单自由度振动－一个自由度系统的振动。

多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。

连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。第6页，课件共83页，创作于2023年2月§19-1单自由度系统的自由振动l0mkkxOxl0stFW1.自由振动微分方程l0——弹簧原长；k——弹簧刚性系数；st——弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，x向下为正，则有：第7页，课件共83页，创作于2023年2月A——振幅；n——固有频率；（n+）——相位；

——初相位。第8页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式第9页，课件共83页，创作于2023年2月第10页，课件共83页，创作于2023年2月例题1mv提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E＝200GPa。重物的质量m＝6000kg，以匀速v＝0.25m/s下降。当重物下降到l＝25m

时，钢丝绳上端突然被卡住。l求：（1）重物的振动规律；（2）钢丝绳承受的最大张力。

解：钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块系统,弹簧的刚度为第11页，课件共83页，创作于2023年2月mk静平衡位置Ox设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为方程的解为利用初始条件求得第12页，课件共83页，创作于2023年2月mk静平衡位置OxmxWFT（2）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象第13页，课件共83页，创作于2023年2月l固定端均质等截面悬臂梁，长度为l,弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块。若不计梁的质量。试写出梁－物块系统的运动微分方程。例题2mEIl固定端ystOy考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标q=y,坐标原点O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用yst表示。第14页，课件共83页，创作于2023年2月分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，物块的受力：应用牛顿第二定律W=mgF分析物块运动到任意位置(坐标为y)时，梁的自由端位移与力之间的关系EIl固定端F'yystmEIl固定端Oy第15页，课件共83页，创作于2023年2月此即梁－物块的运动微分方程第16页，课件共83页，创作于2023年2月串联弹簧与并联弹簧的等效刚度k1k2mgk1mgk21.串联第17页，课件共83页，创作于2023年2月k1k2mk1k2mmgF1F22.并联第18页，课件共83页，创作于2023年2月k4k3k2k1m图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为k1、k2、k3、k4且k1=2

k2

=3

k3=4

k4。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例题3试求此系统的固有频率。解：（1）计算3、4的等效刚度（2）计算2、3、4的等效刚度第19页，课件共83页，创作于2023年2月k4k3k2k1m解：（1）计算3、4的等效刚度（2）计算2、3、4的等效刚度（3）计算系统的等效刚度（4）计算系统的固有频率第20页，课件共83页，创作于2023年2月？1mkO在图中，当把弹簧原长在中点O固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比值为。kkml在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为n0，现将物块改移至距上端处，则其固有频率=

n0。

？2第21页，课件共83页，创作于2023年2月mkal例题4图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若k、m、a、l

等均为已知。

求：系统微振动的固有频率mgF解：取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得在静平衡位置处，有第22页，课件共83页，创作于2023年2月mkalmgF在静平衡位置处，有第23页，课件共83页，创作于2023年2月§19-2计算固有频率的能量法mk静平衡位置Ox物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有第24页，课件共83页，创作于2023年2月物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒第25页，课件共83页，创作于2023年2月mkal解：设OA杆作自由振动时，其摆角的变化规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例题5由能量法解例题4第26页，课件共83页，创作于2023年2月例题6半径为r、质量为m的均质圆柱体，在半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。求：1、圆柱体的运动微分方程；2、微振动固有频率。RCO第27页，课件共83页，创作于2023年2月RCO解：取摆角为广义坐标由运动学可知：系统的动能系统的势能拉氏函数为第28页，课件共83页，创作于2023年2月RCO第29页，课件共83页，创作于2023年2月RCO第30页，课件共83页，创作于2023年2月RCO例题7由能量法求固有频率解：设摆角的变化规律为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为第31页，课件共83页，创作于2023年2月RCO由机械能守恒定律有第32页，课件共83页，创作于2023年2月§19-3单自由度系统有阻尼自由振动

阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C－粘性阻尼系数或粘阻系数1.阻尼第33页，课件共83页，创作于2023年2月2.振动微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为第34页，课件共83页，创作于2023年2月本征方程本征值本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。设其解为其通解为第35页，课件共83页，创作于2023年2月3.小阻尼情形当n<

n时，阻尼系数，这时阻尼较小，称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：其方程的解为利用初始条件求得或第36页，课件共83页，创作于2023年2月TdA2A1衰减振动的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：第37页，课件共83页，创作于2023年2月大阻尼(>1)情形临界阻尼(＝1)情形

这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减>1＝1xOt第38页，课件共83页，创作于2023年2月§19-4单自由度系统无阻尼受迫振动km0e受迫振动系统在外界激励下产生的振动。激励形式

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。第39页，课件共83页，创作于2023年2月FkF1.振动微分方程mOxx振动微分方程第40页，课件共83页，创作于2023年2月微分方程的解为：将x2代入微分方程，得解得第41页，课件共83页，创作于2023年2月2.受迫振动的振幅幅频特性曲线第42页，课件共83页，创作于2023年2月3.共振现象当＝n

时，激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为共振。这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。第43页，课件共83页，创作于2023年2月§19-5单自由度系统有阻尼受迫振动FkmcFmOxFkFc

这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。第44页，课件共83页，创作于2023年2月有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解代入微分方程，解得第45页，课件共83页，创作于2023年2月运动微分方程的通解为：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。引入：第46页，课件共83页，创作于2023年2月第47页，课件共83页，创作于2023年2月第48页，课件共83页，创作于2023年2月幅频特性与相频特性1、＝0的附近区域(低频区或弹性控制区)，

→1，＝0，响应与激励同相；对于不同的

值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，

→0，→

，响应与激励反相；阻尼影响也不大。第49页，课件共83页，创作于2023年2月幅频特性与相频特性在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。第50页，课件共83页，创作于2023年2月幅频特性与相频特性3、＝1的附近区域(共振区)，

急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝n称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。第51页，课件共83页，创作于2023年2月例题8惯性测振仪的内部安装有“质量(m)－弹簧(k)－阻尼器(c)”系统。测振仪外壳安置在被测振动的物体上。仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的运动被转换成电信号输出。当被测振动的物体的运动规律为xe=asint时，试分析仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的振动。kcm第52页，课件共83页，创作于2023年2月

解：在测振仪外壳上固结动坐标系O－xr，系统的牵连运动为平移。以质量块相对于仪器外壳(被测振动的物体)的位移xe作为广义坐标。系统的运动为非惯性系运动。应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力Fe，建立系统的运动微分方程。kcmFexrOxeO1第53页，课件共83页，创作于2023年2月

解：应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力Fe，建立系统的运动微分方程。kcmFexrOxeO1其稳态响应为第54页，课件共83页，创作于2023年2月解：稳态响应的幅频特性与相频特性曲线幅频特性曲线的特点：

在高频区，当>>1时，B/a→1

。因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的

值。

被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。对于同一

值，阻尼较大时，B/a趋近于1。第55页，课件共83页，创作于2023年2月例题9工作台ckmxe已知：m、k、c,xe=asint

试分析：仪器的稳态响应。

解：假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移x作为广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。仪器的运动方程为Ox第56页，课件共83页，创作于2023年2月

激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成:对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第57页，课件共83页，创作于2023年2月对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第58页，课件共83页，创作于2023年2月第59页，课件共83页，创作于2023年2月幅频特性和相频特性曲线第60页，课件共83页，创作于2023年2月本例所研究的实际上是隔振问题－将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅B小于振源振幅a，应当如何设计隔振层的刚度k？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？关于本例的讨论第61页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？无阻尼自由振动系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。有阻尼自由振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。受迫振动第62页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系根据力在dt时间内所作之元功dW=Fvdt当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。

阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为第63页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系若力与速度相位相差/2，则力在一个周期内作功等于零。惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差/2，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。第64页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系激励力超前位移相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。对于微分方程简谐激励力第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为第65页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。根据稳态响应幅值的表达式有第66页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值B0时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。当振幅到达B0时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。第67页，课件共83页，创作于2023年2月单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系若由于某种干扰使振幅大于B0时，阻尼耗散的能量大于激励力所作之功，振幅又会衰减，直至在B0处又维持稳定的振幅。第68页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论

按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。

关于振动概念

工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。第69页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论关于运动微分方程建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。第70页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论关于运动微分方程建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理

拉格朗日方程－对于无阻尼的情形第71页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论关于运动微分方程建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理

拉格朗日方程－对于有阻尼的情形第72页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论关于运动微分方程

动量矩定理－对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。JO－系统绕固定轴O的转动惯量的代数和；LO－所有外力对固定轴O之矩的代数和。力矩方向

与广义坐标方向相同时为正，反之为负。建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第73页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论关于运动微分方程

机械能守恒－对于没有能量损耗的保守系统建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第74页，课件共83页，创作于2023年2月

结论与讨论有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。单自由度线性系统自由振动要点固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等