经济地理学 新第三章

第三章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布3.1

定义:

把n个随机变量的整体

()称为n维随机变量

同抽时溪投渐掷害两撤个获骰草子姑，酸观乘察哄两穴个抓骰展子储出殖现绵的士点叫数税。动设兔第抵一葛个灿骰潜子嘱出肤现奴的跳点层数弃为X，抱第宝二职个桶骰证子朽出梯现垒的筛点抖数印为Y，仰则X可聪能荡取灶值库为1，2，3，4，5，6，Y也蒜可泼能京取慎值禾为1，2，3，4，5，6，俭则仆两压个鸦骰逢子皂出公现生的遥点题数(浪X本,五Y说)就币是呜二虏维药随壮机末变艳量引牺例楼一引葬例舟二炮概弹误命旗中瞎点仔的形平冠面卡位吹置好要耳由竟水芦平麦距都离X和涛垂趟直完距求离Y来横确昂定弊，牧则乐炮体弹剃命耀中卷点取的隶平奔面招位季置选（X视,絮Y弟)也攻是摘二湖维剩随咸机遥变拉量引核例暮三一铸炉累钢绳的稼综棚合懂质花量掌至狠少找要亡由盗钢贸的存硬怕度瘦（X）陵，骑含模碳膝量东（Y）诱，惕含属硫陶量依（Z）侦等亭多膀个负变津量屯来倦描级述妖，康则揭一雕炉穿钢雅的远综裳合蔑质旷量夏至启少尖要往用喘三喇维寇随思机统变径量政（X累,什Y锦,厅Z）谦来铃表染示对乖于西随狂机拣试培验E，Ω是吵其愚样娱本稻空涌间菌。X(w)和Y(w)是烦定若义想在青样使本掏空轿间Ω上仔的员两涂个跪随享机趟变宾量,由返它琴们速构福成打的旦向此量(X,Y)称悟为二伙维盆随豪机剥变订量疾或阁二午维精随默机阴向址量。二燥维随资机完变和量各的沉定草义X(w)杠,Y(w)w.(x,y)xy二国维鞠分堤布洞函疏数联偷合棕分盗布豪函界数设(X,Y)是阴二病维务随刘机街变碌量,对凭于矩任猴意铜实般数x扯,锄y,称歪二僚元踢函兆数F(x场,慢y)李=P(X≤x串,醉Y≤y)为星二床维巨随读机卫变缎量(X告,却Y)的联功合双分宵布南函盟数，木简黑称席分伯布佳函织数古。xy(x,y)复花习兵：套一喜维迁随犁机询变饱量瞒分补布作函详数睬的烤性察质<1><2><3><4>2滥.1发.x1<词x2,测F(x1,池y)蚁≤F(x2,慨y)y1<特y2,疏F(x振,驱y1)腹≤F(x做,糟y2)联脂合分秆布显函符数别的头性淹质4狮.F(x+峰0艇,y)攀=F(x借,观y)孩,F(x育,漂y+拨0患)罚=F(x务,辽y)联饿合分菠布叉函理数廊的运性寸质(x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)例2：塞设主二痰维堪随波机冠变歉量奏（X套,棒Y）泽的棕分誓布讲函耐数迎为杯求A余,蜜B敌,迎C的锡值举个例子吧！解谈：二誓维取离沟散沫型随贝机喘变亦量设(xk,驼yk)仅(k=梳1蚁,真2搬,概…猎)是杀二敢维刮随监机纪变灶量(X融,溪Y)所僻取邪的种一异切屋可零能鞭值尤，酒且(X恩,尽Y)取吧各傻个垮可劣能绵值术的谊概杠率挽为则悄称贫为(X屑,嚷Y)二甲维等离仅散音型雅随安机落变随量，雄上丸式叛为六二慨维效离热散止型温随倘机旷变脂量(X怀,喉Y)的联撞合赏分漂布烘律，掀简哈称谎分迟布接律嫂。XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………联楚合骆分落布沃列联宣合稠分鸡布相律头的贪性优质例3：某蜡学骗生研求泊出树的盲关过于不二劳维槽随暴机复变勺量蛇（X疤,膝Y）录的药分讲布牙密热度合如尝下泊表橡：小问题0000020-357试饮分驴析矩该添学央生较的落计舞算稳结苹果想是盼否厅正颠确滚？例4：设校有1俘0件巴产污品摆，榴其可中2件绳是洋次附品谨，秩从特中腾随陵机道抽粥取词两丝式次闸，谅每龟次服取虫一逢件陶，朗取瞎后厘不转放显回.以X表密示婆第盆一尽次其取坝到葱的症次朵品伤件装数的。残以Y表筒示木第沫二化次渗取趁到厌的巨次与品纸件唯数但，舒求怜随剖机冷变付量载（X妙,乏Y）蹦的收概各率夜分蔽布.解：（X识,碰Y）利的喊所年有丘可彻能卖取趟值矿为(沟0堂,悟0浅)耍,稀(标0唯,恶1急)量,读(倦1停,激0辨)肤,境(团1狠,怕1厅)拐.则（X平,俯Y）马的葵概均率杨分嗽布0101例5轻.设镰袋旅中架有满五衡个帜同欣类输产纯品父，年其雾中涉有外两崭个是跃正鼠品完，胞每渣次果从汪袋腰中容任绘意粪抽龙取根一密个遇，抽连取悟两孟次智，赢定闭义吨随肿机笑变霉量X、Y如积下对完下灰面煌两腥种猫抽咳取榨方障式禁：(垒1滥)有较放值回欲抽石取倒；(坊2券)无床放雨回燥抽瞧取皆，狡求瓜（X累,规Y）记的究概伐率旧分终布妹。二戴维健连无续咏型随厦机粪变终量设悬二兵维雄随杨机上变野量(X揪,均Y)的置分免布瓦函寄数鼠为F(x辆,排y)，乖如延果架存督在沃非指负甲函混数f(x毒,袖y)使茧得大对螺任帐意胃的兄实肆数x姜,箭y屋,都杜有则改称(X埋,秩Y)为连墨续余型闷随严机医变浴量，首其柜中f(x完,朋y)称设为(X倡,静Y)的联韵合担概渔率吐密成度膀函撕数，服简量称裤联愉合底概跑率抵密腐度哗或绵联影合肾分狐布著密国度思。联残合概胖率挂密旗度凝的发性申质f(x,y)并匀不留是关二旗维完随茫机疑变钻量(X汁,益Y)取纷值(x,y)的俘概迎率散，保而本是照反闹映黄了(X奴,以Y)集关中后在摊点(x,y)附充近薯的没密金集葡程撤度慈。例6显.设(X,Y)的盛分医布牛密浮度索是求(斩1拢)C的剪值;(思2廉)分肺布番函后数;(嘴3龟)（X,Y）新落奋在歼如摔图者三很角否形遇区麻域硬内的扁概坝率倾。xyy=2-2x例6殿.设(X,Y)的欺分耀布立密妖度赢是求(芳1化)C的仿值;(违2面)分盗布汁函阶数;常约见旷的荐二风维虑连均续帆型随慨机迹变潮量的兴分勉布均塘匀害分揭布设G为饥平尊面浪上联的炊有商界鼻区幕域腿，娃若猛二栏维塘随辆机闭变深量(X区,汽Y)的果分肆布庭密吩度院函齿数务为其中为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。例7灵.设(X纱,继Y)在糟区仆域G（0腐≤y≤筝2x,毛0叫≤新x笨≤赖2雅)上素服娇从沟均鞋匀胖分挽布宇，唤求(醉1赌)株(X贵,准Y)的筑分忧布节函方数弱；(夫2导)奖P依(Y>X2)秆.例8：浅设(瘦X钢,没Y辆)在观上秃服催从鸭均逮匀宽分午布倒，雨求篮其靠分玩布国函尘数F殃(掏x刚,炊y带)叮.解尊：私由裙于跳区圣域D的添面彼积评为6，帝所聚以(爽X盾,凭Y疗)的沙分方布牧密销度愚为(2)当(1)当yxXY230(x,y)(3)当(4)当(5)当XY230综应上雨所上述F楼(爹x轮,纸y瞎)吗=0饲x种<夺0或y提<师0x鼓y挎/领6x嚼/陆3y咐/也21常田见垂的顿二尝维滩连奴续留型随笑机坚变企量的槐分茅布二潜维睛正控态催分盘布若做二誓维氏随脂机达变演量(X序,致Y)的疾分达布泼密租度惨为其舟中σ1>棕0借,σ2>忙0盒,申|ρ|袍<耍1瞒,μ则晚称(X员,肿Y)服绣从轧参荣数抱为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二杂维用正璃态狸分缴布。避记举作(X,Y)搁~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)二俊维烂正惊态大分歇布边拼缘精分妨布而与撑独女立偶性3搁.牢2边座缘冰分膛布设城二仔维匀随索机港变它量(X炊,弦Y)的喘联大合分晨布猜函蔽数茶为F(x,y)科=P(X≤x岭,侧Y≤y藏),则偶随膛机厚变设量X的取分右布选函遵数称惯为(X景,狭Y)关退于X的边瞒缘晚分君布圾函泄数。称件为(X妨,捷Y)关原于Y的边共缘傅分街布嘴函框数。边水缘秩分拉布xyFX(x)xyFY(y)二旁维的离砍散秘型叫随权机眉变浅量球的逗边偿缘让分收布设(X贩,触Y众)为果离术散芝型万随银机咐变份量举，展其医联趣合耽分斥布屡律胞为则(X,Y)关姨于X、Y的边铜缘置分乱布股函晓数分她别肚为(X,Y)关庆于X、Y的边勤缘馒分疯布泻律分度别若为p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1例1：刘按3贸.置1中肿例4的侨分准布休列选，灯求姿（X，Y）接关获于X，Y的骡边蹈缘酸分凯布故密落度010

101010101解肾：故军（X，Y）累关已于X，Y的烟边剖缘尝分奶布晨密昨度身分冷别处为例2庄.设麻袋醉中乌有判五久个楼同把类被产皇品最，片其躁中竞有岩两亿个是术正爽品辛，磁每纱次叨从罢袋或中拔任绝意右抽遮取介一企个歌，抽耀取售两泽次韵，纺定搅义残随斤机撞变泰量X、Y如殃下对扒下腐面刘两耍种溉抽仗取哨方顾式转：(宾1裳)有兴放偿回租抽烟取绞；(收2越)无健放哀回突抽狂取恰，漫求(X头,制Y)的把边筑缘圆分后布面律匀。二妥维脱连没续葬型客随凯机雀变皆量第的淹边硬缘玻分慌布设(X列,循Y)为食连抱续社型阻随电机法变馆量港，谊其扎联秆合拢分禁布蔽函源数翼和料联群合睡概美率但密滴度猎分袭别果为F(x,y)和f(x屈,最y)置,则分奶别遮称僚为(X咸,研Y)关看于X和Y的边爆缘舟概帆率撕密煮度屿函捉数，柔简烦称器边占缘漂概仅率碗密垫度戚。例3：载设扎二考维R，V（X，Y）恨的惹二往维伴联祥合慎概鞋率窑密诞度顿函碍数矛为扁：赔求沃（X，Y）姓关口于X及Y的极边瓦缘葛分撤布活密临度.例4甜.设(X,Y)的窃分猎布箭密握度菊是求:止(X,Y)关循于X和Y的稍边浴缘许概扯率摊密验度汤。解:如沉果见二预维锡随惑机砍变验量(X巴,呜Y)满庙足,则欣称X与Y相懒互独次立.连照续番型随居机脖变拴量乖的混独蛛立越性对向任颠意x攀,劲y答,有p·jp·1 p·2 …

p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1 y2 ... yj …p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1离助散喜型例5修.已求知(盏X扶,两Y茫)的浑分译布留如醉下吊，猛判蝇断X、Y是暮否旗独潜立衣。XY1231 2 31/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/9例6.已知X、Y独立,完成下面表格。XY12p.j1 2 3 pi.1/81/81/61

例7设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>迫0即葡：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>鸦0

若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解松：0员<x<孕10燥<y<破1由龄于看存狭在鹿面毁积速不俯为0的挂区班域捷，故X和Y不赶独挎立.例8绍.设母二峰维尚随暖机挣变裤量(X左,冤Y)的浩分镜布备密衬度倾为腊：求(X,Y)关识于X,Y的渐边多缘暗分画布稀密晶度,并博讨吹论X与Y的狭独坟立旅性踢。(X,Y)邪~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)若(X,Y)绳~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X与Y相谈互独撑立ρ=万0例9德.设(X比,弯Y盯)在颠区洞域G=诉{奔(x,y)淘:抛0嗓<y<中2x久+2考,题-窄1守<x<协0仍}上午服兴从糠均柿匀启分喜布辅，夫求(X,Y)关瓣于X,Y的葱边勉缘分端布惊密锣度,并磁判闸断X与Y是裤否元独蜻立悼。xy-12y=2x+2解:SG=阳1二震维寸随深机失变父量董函与数棋的裳分逮布3庸.割3二涝维你随狮机赶变热量(X,Y)的兆分众布随联机朗变源量Z的段分意布?遣?饶?Z=g(X秋,滴Y)设(X烛,签Y)为昂离遍散矛型傅随贤机召变插量庸，Z=g(X,Y)为桥一耍维迫离进散戒型橡随扭机旋变柜量.若恒对烧于悔不劈燕同巾的(xi,蜡yj)劝,束g敏(xi,蔬yj)的临值轮互便不炉相糟同,则Z的药分唇布华律命为二册维晴离秘散绝型敏随哲机淋变辨量康函赖数熄的泼分忘布若跳对哥于除不竿同知的(xi,呈yj)计,g(x字,幕y)有晚相老同璃的像值,则疑应亲取事这烈些皮相榜同徐值井对洽应骄的宇概备率产之岸和寻。-1012-12例1（X，Y）懒的狗联岔合台分蚕布加密递度耗为求X右+攀Y，X牵-墓Y分焦布羞密无度赛。离秀散暗型卷掠积膊公缠式例2存.设X和Y相纤互伶独妨立堪，托其踏分载布惨律泽为求Z=X+Y的展分虏布竿律望。例3顺:设X顽,画Y相咏互婆独矿立,且X~P(λ1)黄,Y~P(λ2)证据明:刷Z冲=漫X找+遍Y约~P(λ1+λ2)例4曲.设(X仙,铲Y)的亭联骑合秋分载布迅密鬼度违为f(x神,纪y),边缘铃分届布扭密孩度渡分鼻别亲为fX(x)陪,fY(y),求Z阁=捕X拆+字Y的把分症布府密脂度翼。二撇维抽连兵续榜型年随雪机客变助量音函默数煎的迁分凡布若X、Y独垄立连汤续扛型卷析积库公蒸式例5碑.若X斜~垃N(葱0幻玉,僵1烘)带,Y瞧~协N(储0辱,境1迟)，X与Y独浸立就。证酱：Z=X+Y~N(女0哨,殖2移)。X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)Z1=辜X码+车Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)X与Y相踏互独崇立Z2=a革X+b具Y~N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)Z们=每a跃X阁+厘b效YX与Y相立互独尘立Z=X-Y例6仅.若X运~尖N(侮0戚,之1从)快,Y党~著N(暮0铲,金1正)，X与Y独罚立臣。解:当z<乐0兆,显调然FZ(z)害=左0补,当z≥0时,思汗考绿：已衡知稠相驳互烫独尾立薪的猴随社机叫变秤量X和Y的佳分飞布搏函煎数果为FX(x)和FY(y)婚,求M梳=译m污a乏x(X螺,晒Y),沙N翠=汇m拴i知n(X盼,旱Y)的外分摘布差函别数绿。M兔=m绑a岗x纪(X,Y舍)及N文=m愧i毁n(缺X,Y冻)的霞分蜂布设X，Y是秧两音个呼相矿互些独殖立咸的阔随帜机习变项量渔，储它缓们尘的垫分乖布戒函杯数煤分着别膨为FX(x)和FY(y)亡,我听们货来迎求M问=m多a选x储(X,Y)及N=厅m锻i怕n讽(X,Y)的芳分贴布凉函侧数.又帮由慎于X和Y相略互活独缠立,于舱是平得共到M腔=m登a炸x资(X,Y)的锣分摸布绍函禽数丙为:即另有FM(z)胁=FX(z)FY(z)FM(z)诵=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由拔于M崇=m蒜a换x怒(X,Y)不获大双于z等桌价趟于X和Y都妄不思大毛于z，郑故却有分姓析蜜：P(M≤z)赞=P(X≤z,Y≤z)类选似厘地吐，品可奖得N蛇=m没i但n染(X,Y)的谦分去布肥函冲数愁是下务面析进性行丧推舌广即闸有FN(啦z翅)窜=丢1容-辫[费1翻-FX(z)静]蔬[善1裕-FY(z)呢]=剂1-P(X>z,Y>z)FN(z)悉=P(N≤z)=染1-P(N>z)=辽1-P(X>z)P(Y>z)设X1,庭…甘,Xn是n个事相晴互狗独抬立系的灭随啊机温变膨量,它贤们央的丧分错布鼓函语数顿分喷别居为我氏们护来阁求M情=m刚a座x础(X1,丑…骨,Xn)和N吗=m莫i禾n在(X1,脑…冠,Xn)的肌分痕布个函广数.(i=较0鸟,厉1，…醋,n)用域与夺二垂维林时像完稳全竟类设似恨的脖方备法瓶，悔可搏得特害别颗，琴当X1,申…昌,Xn相闻互街独脾立慨且满具醋有挑相总同雁分伞布虑函视数F(x)时清，昨有N浪=m遣i拜n饱(X1,怀…维,Xn)的寺分榜布娘函泰数锋是M道=m平a致x筝(X1,姑…田,Xn)的煤分筋布倾函膜数取为:FM(z)佣=海[F(z)畜]nFN(z)同=妥1割-派[筹1墙-F(z)竖]n……若X1,歉…头,Xn是宿连丈续铲型慌随洞机躬变晨量喜，畅在条求孝得M害=m晨a轻x却(X1,谨…毫,Xn)和N芝=m朋i蔑n术(X1,冈…烛,Xn)的丸分每布道函让数摸后浩，煎不跪难杆求轮得M和N的授密辞度染函街数.留映作堪课罩下集练骨习.当X1,曲…色,Xn相枝互哭独茫立畜且龄具录有钻相摔同导分和布瞒函务数F(x)时尚，街有FM(z)郑=马[F(z)办]nFN(z)劝=刑1涛-蛮[孟1扩-F(z)糠]n需候要痰指宝出挣的扔是洗，柱当X1,斧…前,Xn相唐互思独励立首且均具偏有播相拣同思分掉布泊函反数F(x)时,常称M葵=m脱a逗x陆(X1,堤…适,Xn)，N势=m篇i派n喝(X1,升…置,Xn)为饶极凭值.由云于建一趟些佛灾哀害想性情的够自拦然由现借象叔，尚如秩地路震妻、象洪祖水离等按等肾都截是白极践值疮，村研乐究汉极愿值李分旷布他具声有等重劝要扇的墙意纠义篮和征实暂用椒价匀值.例7朵.某甜元拌件吵由珍两械个市相绵互比独水立词的托元嘴件A1,犹A2连纪接毫而卖成满，予其羽连治接册方晨式绩分最别嗽为圾：S1:串联;御S2:并滥联驶。顾设A1,补A2的议寿活命X菊,妻Y服发从指败数哭分献布气。悄求漫两遥种冤系勿统S1,飘S2的出寿慈命的闲概勺率技密仙度巧函避数蓄。A1A2S1A1A2S2二隙维它随疑机朴变堡量茅的楚条联件茅分凯布3跳.宜4在炼第返一旁章加中愿，宁我星们价介贯绍慰了后条抖件朵概暴率库的不概抢念.在糖事臣件B发私生棍的卧条角件惰下跳事垄件A发倾生壤的腥条冲件雪概裙率推昌广容到杨随特机雷变绞量设蜘有臭两喉个r柳.嘉v杆X,Y，挨在姐给驶定Y取厚某控个释或塞某泳些雨值歪的柳条复件末下风，美求X的娃概图率侧分含布.这崭个嫌分牵布挂就推是汗条队件靠分古布.例脂如招，翠考当虑僵某纠大描学字的抚全摇体众学耕生采，焰从央其龄中誉随站机约抽适取宁一块个续学世生周，疲分踪蝶别氏以X和Y表追示舞其套体驻重孙和纽奉身复高.则X和Y都孕是援随那机丙变够量絮，壤它雕们磨都萌有痒一郑定杰的膨概黑率呈分怪布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现度在躲若驻限卡制1粗.漂7暂<Y<赵1层.肝8查(米)钉,在就这顽个泼条强件唯下屡去狮求X的订条衰件拦分辈布对，幕这蹄就嘴意海味吩着乔要负从率该叠校价的族学挪生警中武把孔身染高盾在1霜.钞7