激光原理与技术

激光原理与技术第1页，课件共82页，创作于2023年2月光腔高斯光束模式构成；分类；损耗；ABCD矩阵及应用；稳定条件数学解法；模式特性（场分布、谐振频率、等相位面、衍射损耗等）高斯光束特性及在实际中的应用内容自由空间、透镜（球面反射镜）、平面介电界面、球面镜谐振腔第2页，课件共82页，创作于2023年2月§2.1光腔理论的一般问题谐振腔的作用无源谐振腔理论依据开放式光腔开腔的分类光腔的损耗一、概述第3页，课件共82页，创作于2023年2月谐振腔的作用提供轴向光波模的正反馈控制腔内振荡光束的特性直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率及光束发散角等第4页，课件共82页，创作于2023年2月无源谐振腔不考虑腔内激活介质的影响无源腔的模式可以作为具有激活物质腔（有源腔）的激光模式的良好近似激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化第5页，课件共82页，创作于2023年2月采用的理论衍射光学理论——衍射明显,模式的精细描述不同模式按场分布,损耗,谐振频率

来区分几何光学理论——忽略反射镜边缘衍射效应，推导腔的稳定性条件不同模式按传输方向和谐振频率来区分，粗略、简单明了第6页，课件共82页，创作于2023年2月闭腔开腔气体波导腔波导管忽略侧面边界的影响波导管的孔径比较小，不能忽略侧面边界的影响光腔的构成与分类折叠腔环形腔光学谐振腔(OpticalCavity)

第7页，课件共82页，创作于2023年2月光腔的分类按腔的几何逸出损耗的高低分类:稳定腔,非稳定腔,临界腔稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往返就逸出腔外，具有较高的几何损耗临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间，只有少数特定光线能在腔内往返传播第8页，课件共82页，创作于2023年2月谐振腔可以按不同的方法分类：稳定腔、非稳定腔、临界腔球面腔与非球面腔高损腔与低损腔驻波腔与行波腔两镜腔与多镜腔简单腔与复合腔端面反馈腔与分布反馈腔本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔

第9页，课件共82页，创作于2023年2月

二、光腔理论与模式

（概述）

1.光腔理论(激光模式理论)

－研究模式基本特征及其与腔结构关系有限范围的电磁场分立的本征态腔内存在的场分布

激光模式沿光轴方向（纵向）场分布E(z)－纵模场分布垂直于光轴方向(横向)场分布E(x,y)－横模模式主要特征：

*场分布，谐振频率，往返损耗，发散角第10页，课件共82页，创作于2023年2月以F-P(法布里-珀罗干涉仪)腔中的轴线方向传播电磁场的模式光往返一周发生相长干涉的相移q为整数L’为腔的光学长度，L为腔的几何长度。在整个腔内充满折射率为的均匀物质。则：F-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件0q为腔的谐振波长，q为腔的谐振频率。谐振频率是分立的。q为物质中的谐振波长(2-1-1)式(2-1-1)又称为光腔的驻波条件谐振条件（干涉仪理论）纵模第11页，课件共82页，创作于2023年2月L驻波场分布L波节

纵模间隔

满足q的平面驻波场是F-P平行腔的本征模式特点：腔的横截面内的场分布是均匀的；沿腔的轴线方向（纵向）形成驻波。驻波的波节数由q决定。q所表征的腔内纵向场分布为腔的纵模。纵模q单值地决定腔的谐振频率。q与q无关。L减小，纵模间距增大第12页，课件共82页，创作于2023年2月腔的纵模在频率尺度上等距离排列，每一个纵模均以具有一定宽度c谱线表示。第13页，课件共82页，创作于2023年2月三、光腔的损耗（lossesinopticalCavity）

几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。（与腔和腔内的模式有关）

衍射损耗：腔的反射镜片通常有有限大小的小孔，所以光在镜面发生衍射时，有一部分能量损失。腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一个通常称“全反射”镜，其反射率不可能做到100%。固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和4为非选择损耗：对各个模式大体一样。光腔的损耗是评价谐振腔的一个重要标志。第14页，课件共82页，创作于2023年2月损耗的参数(lossperpass,photonlifetimes,andqualityfactorQ)1.平均单程损耗因子

初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，则如果I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗为总损耗因子，为腔中各个损耗因子的总和。－指数损耗因子第15页，课件共82页，创作于2023年2月例：由腔镜反射不完全引起的损耗r1I0r2腔内往返一周后，强度为r1

1，r21透过损耗(T)反射损耗透射损耗第16页，课件共82页，创作于2023年2月百分比损耗因子腔损耗很小时

指数损耗因子与百分比损耗因子损耗的另一种定义用单程渡越时光强的平均衰减百分比定义单程损耗因子`第17页，课件共82页，创作于2023年2月2.与腔损耗有关的参数－光子寿命光子(平均)寿命tR－腔内光强衰减到初始值的1/e

所需时间

根据定义，如何计算光子平均寿命谐振腔光学长度=R称为腔的时间常数第18页，课件共82页，创作于2023年2月上式表明R的物理意义——经过R时间后，腔内光腔衰减为初始值的1/e。而且，越大，R越小，则说明腔的损耗越大，腔内光腔衰减的越快。由于腔内存在损耗，光场不再为简谐振动，而是振幅随时间指数衰减的阻尼振荡，其强度按频率的分布有一宽度证明：R等于光子在腔内的平均寿命设t时刻腔内的光子数密度为N光在谐振腔中传播速度由于损耗，腔内光子数密度随时间依指数衰减。第19页，课件共82页，创作于2023年2月t-t+dt时间内减少的光子数密度N0个光子的平均寿命－光子平均寿命取决于谐振腔的损耗

谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长第20页，课件共82页，创作于2023年2月3、无源谐振腔的Q值V表示腔内振荡光束的体积腔内电磁场的振荡频率储存在腔内的总能量（x）单位时间内损耗的能量（P）定义

谐振腔的损耗越小，Q值越高。表示光腔的储能好，损耗小，腔内光子的寿命长。第21页，课件共82页，创作于2023年2月腔镜倾斜时的几何损耗腔镜倾斜时的损耗D为平面腔的横向尺寸（直径）。求出m值，根据光在腔内往返一次所需的时间可求出腔内光子的寿命及相应的。设光在腔内往返m次后逸出腔外，则(2-1-27)平行平面镜腔的调整精度要求极高第22页，课件共82页，创作于2023年2月衍射损耗（估计）L2a第一极小值出现位置：假设：忽略第一暗环以外的光，并且中央亮斑内光强均匀分布。W1~到孔外能量，W0为孔内能量，则射到孔径以外的光能与总光能比等于该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面积的比。第23页，课件共82页，创作于2023年2月衍射损耗不太大时，单程指数衍射损耗（d）与能量相对百分数损耗（d

，）近似相等，d=d，N为腔Fresnel系数，是衍射现象中的一个特征参数，表征衍射损耗的大小。N，d，即损耗越小。（2-1-29）第24页，课件共82页，创作于2023年2月透过损耗(dT)

衍射损耗(dD)几何偏折(dn)－光线从腔侧面偏折出去工作物质质量(dI)－气泡、杂质等引起吸收、散射其它插入损耗(do)－腔内插入其它元件等

2aL总的单程损耗第25页，课件共82页，创作于2023年2月增益(损耗)系数的定义及其与反转粒子数的关系光在增益&损耗并存介质中传输时的光强变化公式由光强引起的增益饱和的物理原因,极值光强的概念谐振腔的损耗对激光器阈值振荡条件的影响谐振腔中的各类损耗、指数损耗及百分数损耗因子腔内光子寿命的定义及与损耗的关系总结第26页，课件共82页，创作于2023年2月§2.2共轴球面腔的稳定条件一、射线（几何）光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）rq1.表示光线的参数

r－光线离光轴的距离－光线与光轴的夹角傍轴光线

tg

sin

正,负号规定:q>0q<0q<02.自由空间区的光线矩阵LABA处：r0,q0B处：r’,q’

第27页，课件共82页，创作于2023年2月自由空间光线矩阵用描述任一光线的坐标3.空气与介质(折射率为n2)的界面入射出射TL描述光线在自由空间中行进距离L时引起的坐标转换。第28页，课件共82页，创作于2023年2月4.球面镜反射矩阵（薄透镜传输矩阵）Rf焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效R为球面镜的曲率半径第29页，课件共82页，创作于2023年2月5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）第30页，课件共82页，创作于2023年2月往返n次的光线矩阵

其中

光线在谐振腔中的传输可等效为在透镜波导中的传输。往返矩阵与初始坐标、出发位置及往返顺序无关。谐振腔往返矩阵的建立方法：等效透镜波导；确定一个周期；写出各部分光线矩阵的乘积。第31页，课件共82页，创作于2023年2月球面镜腔可以等效为周期透镜波导LLR1R2R1复杂腔的等效周期透镜波导及往返矩阵l1l2l3l1l2l3第32页，课件共82页，创作于2023年2月二、共轴球面镜腔的稳定条件Q：在什么条件下，傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸出腔外？——稳定腔几何光学光线矩阵分析腔中几何偏折损耗，判断稳定与否共轴球面镜腔的稳定判据An,Bn,Cn,Dn

矩阵元有界，说明光线经过n次不逸出腔外，关键因子f

应为实数，且不等于kp第33页，课件共82页，创作于2023年2月

非稳定腔

傍轴光线有限次反射后便逸出腔外

几何偏折损耗大(高损耗腔)共轴球面镜腔

两反射镜为球面镜,有共同光轴

凹面镜R>0;凸面镜R<0;平面镜R＝∞稳定条件:几何偏折损耗

稳定腔

任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外几何偏折损耗小(低损耗腔)第34页，课件共82页，创作于2023年2月讨论：实数，

An,Bn,Cn,Dn有界

稳定腔(1)复数，

nAn,Bn,Cn,Dn

非稳定腔(2)(3)k为奇数(-1)k为偶数(+1)K为奇数K为偶数且随n的增大发生周期性的变化随n的增大按指数增大第35页，课件共82页，创作于2023年2月临界腔的典型例子平行平面镜腔(R=)3.共心腔R1+R2=L

临界腔非稳腔稳定腔

2.对称共焦腔

R1=R2=L

往返两次自行闭合

稳定腔

适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性非对称共焦腔？R1+R2=2L第36页，课件共82页，创作于2023年2月

只适用于简单的共轴球面镜腔(直腔)要求掌握：给定R1,R2，根据稳定条件，确定使谐振腔处于稳定的腔长允许值范围稳定判据另一表达式第37页，课件共82页，创作于2023年2月任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即可自行闭合。沿轴线方向行进的光线能往返无限次而不逸出腔外，且往返一次即实现简并。但所有非轴线方向行进的光线在经有限次往返后，必然逸出腔外。通过公共中心的光线能在腔内往返无限多次，而所有不通过公共中心的光线在腔内往返有限次后必然横向逸出腔外。平行平面腔对称共焦腔共心腔第38页，课件共82页，创作于2023年2月大多数临界腔，其性质介于稳定腔和非稳腔之间。平行平面腔和共心腔这一类腔称为介稳腔；对称共焦腔（本属于临界腔g1=g2=0），其中任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即可自行闭合。在这种意义上，共焦腔属于稳定腔。整个稳定球面腔的模式理论可建立在共焦腔振荡模理论的基础上。第39页，课件共82页，创作于2023年2月§2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法Q：在没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征值，即不随时间变化的稳定场分布，若存在，如何求场分布？激光介质对光的放大和损耗；镜面对光的衍射作用（损耗）考虑理想情况，损耗主要由衍射作用贡献，介质没有放大作用，则光在两镜之间传输会因衍射作用而越来越弱。可以期预，经过有限次往返后，光场的分布不再受衍射的影响。在腔内往返一次后能“再现”出发时的场分布。此稳态场经一次往返后，唯一可能变化的是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。定义开腔镜面上经过一次往返能再现稳态场分布---自再现模或横模。自再现模一次往返的能量损耗称为模的往返损耗；一次往返所经历的相移称为往返相移，为k2——模的谐振条件。一、衍射理论的基本出发点与自再现概念第40页，课件共82页，创作于2023年2月二、孔阑传输线条件一系列通轴孔径孔径开在平行无限大的吸收屏上相邻孔径距离等于腔长L孔径大小等于镜的大小所有孔径的大小和形状都相同光从一个孔径传播到另一个孔径等效于光在开腔中从一个反射镜面到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏吸收（对应于损耗）开腔模式形成的定性解释模拟开腔中自再现模的形成过程横模产生的物理原因第41页，课件共82页，创作于2023年2月过程：一均匀平面波垂直入射到第一个孔阑时，波的强度均匀分布在孔面上。通过孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围之外的光将被屏吸收（对应损耗）。由于衍射发生在镜的边缘附近，当波到第二个孔时，边缘部分的强度比中心小，且已不是等相位面。通过等二个孔时波束又将发生衍射，每经一个孔，波的振幅和相位分布发生一次变化，但是波束受到衍射的影响越来越小。当通过足够多的孔阑后，镜面上场的振幅和相位分布不再发生变化。——自再现模第42页，课件共82页，创作于2023年2月不是任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来。自在现模的形成与初始入射波的形状无关，任何初始入射波也能形成自在现模。自在现模的形成过程可理解光的相干性。如果在第一孔面上的光是非相干的，由于衍射，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上个所有各点发出的子波的叠加（惠更斯-菲涅耳原理），即在第二个孔面上各点波的相位有关联，经过足够多的衍射后，光束横截面上各点的相位关联越密，空间相干性越强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用第43页，课件共82页，创作于2023年2月三、惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分Fresnel-Kirchoft衍射积分：若知光波场在其所到任意空间曲面上的振幅和相位分布，可求出该光场在其他任意处的振幅和相位分布。S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子ｋ为波矢的模；ρ为源点u(x’,y’)与观察点u(x,y)之间连线的长度；θ为Ｓ面上点(x’,y’)处法线ｎ与上述连线的夹角；ｄｓ′为Ｓ面上点(x’,y’)处的面积元，积分沿整个Ｓ面进行。第44页，课件共82页，创作于2023年2月U1(x1,y1)U3(x3,y3)Uj+1(xj+1,yj+1)Uj(xj,yj)M1M2U2(x2,y2)场分布不变－再现自再现条件往返次数足够多时,除表示振幅衰减和相移的常数因子外,Uj+1能再现UjqrP(x,y)P’四、自再现模概念第45页，课件共82页，创作于2023年2月衍射积分公式自再现概念光腔中的衍射场自洽积分方程L光腔中的衍射场自洽积分方程……..……..自再现模积分方程开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数第46页，课件共82页，创作于2023年2月自再现模积分方程(自洽积分方程）其中－积分方程的核

适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）

求出V(x,y)开腔振荡模的场分布求解积分方程第47页，课件共82页，创作于2023年2月五、自再现模积分方程的解法其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得2.数值解(数值迭代法)...…...振幅相位1.解析解：－对称共焦腔才能得到解析解

精确解

近似方形镜共焦腔长椭球函数厄米～高斯函数圆形镜共焦腔超椭球函数拉盖尔～高斯函数第48页，课件共82页，创作于2023年2月例：平行平面腔模的迭代解法平行平面腔的优点：光束方向性好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损耗也比较大平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解第49页，课件共82页，创作于2023年2月利用迭代公式，直接进行数值计算。首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将其代入上式，计算u2，u3,u4等。反复运算足够多次后，判断能否满足下式如果直接数值计算得到了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自在现模或横模。第50页，课件共82页，创作于2023年2月以对称条形腔为例，看看平行平面腔自再现模的形成过程。求解问题：初始入射波函数u1如何选择？u11，即认为整个镜面为等相位面，镜面上各点波的振幅均为1。振幅相位将u1代入迭代得到u2，然后使u2=1，将其在代入方程求得u3….第51页，课件共82页，创作于2023年2月根据初始分布，经第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。300次渡越后形成自再现模。此稳态场的分布特点：镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅慢慢降低，整个镜面上的场分布具有偶对称性。——此特征的横模为腔的最低阶偶对称模或基模。（TEM00）第52页，课件共82页，创作于2023年2月六、自再现模积分方程的解的物理意义1.本征函数形式－镜面上振幅分布－镜面上场的相位分布本征值本征函数－镜面上场分布函数(本征函数横模)一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解第53页，课件共82页，创作于2023年2月2.本征值

g－复常数

g

与d有关d

－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗－传输因子设单程模振幅的衰减相移gmn－量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的d。

gmn

模的单程损耗第54页，课件共82页，创作于2023年2月3.单程相移

dmn－自再现模在腔内渡越一次的总相移几何相移根据谐振条件当gmn得知,可求得模的谐振频率

附加相移自再现模在往返过程中形成稳定振荡场的条件：光在腔内一次往返的总相移=2的整数倍，即开腔自再现模的谐振条件第55页，课件共82页，创作于2023年2月复常数的模——量度自在现模的单程损耗，它的辐角——量度自在现模的单程相移，从而可以决定模的谐振频率。对于非对称开腔，应按照场在腔内往返一次写出模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自在现模在腔内往返一次的功率损耗，的辐角量度自在现模的往返相移，从而决定模的谐振频率。第56页，课件共82页，创作于2023年2月§2.5方形镜对称共焦腔的自再现模

分离变量法？？第57页，课件共82页，创作于2023年2月(a)以矩形平面腔镜为例镜的变长2a2b，腔长L，L>>a,b>>第58页，课件共82页，创作于2023年2月考虑、a和L间数量关系，将上节方程式的K展开，并舍去高阶项，从而可进一步简化方程。当满足条件:近似有幂级数展开第59页，课件共82页，创作于2023年2月（2-3-18）可分离变量，令可以得到将求解一个二元函数积分方程转化成求解两个单元函数的积分方程。且两个方程的形状完全一样。理解：v(x)代表在x方向宽度为2a而沿y方向无限延伸的条状腔的自再现模。v(y)代表在y方向宽度为2b而沿x方向无限延伸的条状腔的自再现模。（2-3-20）第60页，课件共82页，创作于2023年2月满足v(x)和v(y)函数可能不止一个。我们可以vm(x)和vn(y)分别表示它的第m个和第n个解,m，n表示相应的复常数，则：整个镜面上的自再现模场分布函数为：相应的复常数为：（2-3-21）第61页，课件共82页，创作于2023年2月上面的式子在数学上称为积分本征值问题。m，n是方程的本征值。vm(x),vn(y)是与本征值相对应的本征函数。它们决定着开腔自再现模的全部特性。包括场分布（振幅和相位）和传输特性（如模的衰减、相移、谐振频率等）。（b）一般球面镜腔中模式的分离变量方法:P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D1反射镜曲率半径，R1和R2，腔长L第62页，课件共82页，创作于2023年2月幂级数展开对称方形共焦腔，满足R1=R2=R=Lg1=g2=0第63页，课件共82页，创作于2023年2月分离变量Vmn=Fm(X)Gn(Y)Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程本征值(2.5.6)第64页，课件共82页，创作于2023年2月m，n=0,1,2,3,…(2.5.6)精确解：

采用类比法

长椭球函数系径向长椭球函数角向长椭球函数（2.5.11)第65页，课件共82页，创作于2023年2月本征函数－角向长椭球函数

镜面上场的振幅、相位分布本征值－径向长椭球函数

决定模的相移和损耗径向长椭球函数角向长椭球函数(2-5-11)第66页，课件共82页，创作于2023年2月本征值－径向长椭球函数

决定模的相移和损耗均为实函数第67页，课件共82页，创作于2023年2月二、厄米～高斯函数－近似解C=2N1

模场分布集中在镜面中心附近

x,y<<a菲涅尔数较大近似解－长椭球函数的特殊情况近似条件：线性谐振子的薛定锷方程参见激光物理学邹英华孙陶亨编写X，Fm(X)0时，此方程解为厄米－高斯函数第68页，课件共82页，创作于2023年2月近似解：角向长椭球函数厄米多项式和高斯函数乘积Cmn－常系数用近似解来讨论共焦腔镜面上的场分布特性（镜面上直角坐标）本征函数第69页，课件共82页，创作于2023年2月CmCn为常系数，Hm为m阶厄密多项式如果c=2N>>1不满足，在镜面中心附近，厄米特-高斯函数仍然能正确描述共焦腔模的振幅和相位分布。第70页，课件共82页，创作于2023年2月1.镜面上场的振幅分布基模:

TEM00

m=0,n=0光斑尺寸定义(1)：振幅中心处的1/e(半径)W0s或光强中心处的1/e2光斑尺寸定义(2)W’0s

：半功率点处

1/eEx基模在镜面上分布为高斯型第71页，课件共82页，创作于2023年2月场振幅为高斯分布，在腔轴上光强最强；离腔轴距离r增大，光强将减弱镜面上基模光斑尺寸只与腔长有关，与反射镜大小无关

镜面光斑大小第72页，课件共82页，创作于2023年2月高阶横模的场振幅分布（m,n不同时为0）...…...厄米多项式的零点决定场的节线第73页，课件共82页，创作于2023年2月第74页，课件共82页，创作于2023年2月强度花样x,y

轴对称TEMmnm——x向暗区数n——y向暗区数TEM21TEM22第75页，课件共82页，创作于2023年2月

高阶模的场分布较基模复杂，有节线，光斑尺寸扩展高阶横模的光斑尺寸根据