高考数学总复习不等式的解法大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.4不等式的解法大纲-A3演示文稿设计与制作§6.4

不等式的解法

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考6.4不等式的解法双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)<02．高次不等式的解法一元高次不等式常用数轴标根法(或称“区间法”、“穿根法”)方法为：将高次不等式右边化为0，左边最高次数项的系数化为正数，然后对左边进行因式分解及同解变形，设xn<xn－1<…<x2<x1，则解集情况如表：思考感悟对于高次不等式的重因式如何处理？提示：有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．课前热身答案：C答案：A答案：A答案：[0，＋∞)考点探究·挑战高考考点突破考点一分式或高次不等式通过因式分解，将它化成一次或二次因式的乘积，然后用数轴标根法(即穿根法)解之，但要注意对有恒定符号的式子，如x2，x2＋x＋1等情况的处理．用穿根法来解分式不等式、高次不等式比较方便，但在穿根时要注意把不等式整理成标准形式，即把各因式中未知数x的系数化为1，参考教材例2.例1如图所示：可得原不等式的解集为【名师点评】易把根的方向穿错：应该是“右上方”开始穿．另外，易分不清虚实点，或者漏掉“＝”情况．考点二含参数的不等式含参数不等式的求解，要视参数为常数，按照通常解不等式的过程进行求解，直到会出现几种可能时，再分类讨论．解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式转化，参考本章复习参考题B组第4题．例2【思路分析】原式→(ax－2)(x＋1)>0→讨论a.【思维总结】本题对参数a的讨论分为两层：一层为：讨论二次函数的正负，二层讨论根的大小．互动探究对本例的不等式，若x＝－a时不等式成立．求a的取值范围．不等式在满足参数的条件下恒成立，求x的范围，往往转化为函数求最值问题．考点三解不等式的综合应用例3

设不等式mx2－2x＋1－m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．【思路分析】本题实质上可视为关于m的一次不等式，并且已知它的解集为m∈[－2,2]，求参数x的范围，可用函数思想及数形结合法解决．【解】法一：原不等式可化为(x2－1)m≤2x－1.(1)当x2－1＝0，即x＝±1时，易知若x＝1，则2x－1＝1>0，不等式成立．若x＝－1，则2x－1＝－3<0，不等式不成立，∴x＝1符合题意，x＝－1不符合题意．【思维总结】法一：运用了“分离变量法”；法二：可称之为“变更主元”，构造函数，再数形结合，解法较合理．方法技巧1．分式不等式的求解步骤一般是移项——通分——化乘积，转化为整式不等式求解．另外，对于分式不等式或高次不等式，还可以根据分式或因式的符号规律，转化为不等式组进行求解，如例1.2．解含有参数的不等式，当参数影响不等式的同解变形或解集时，对参数进行讨论，如例2.方法感悟3．不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题．如例3.(1)不等式中恒成立问题①若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上[f(x)]min>A.②若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上[f(x)]max<B.(2)不等式中能成立问题①若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上[f(x)]max>A.②若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上[f(x)]min<B.(3)不等式中恰成立问题①若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D.②若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.失误防范1．解不等式的过程实质上是用同解不等式逐步代换，化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则．2．对参数的讨论要全面、不重复、不遗漏，如例2.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数，如例3.考向瞭望·把脉高考考情分析不等式的解法是高考命题的热点，主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法及各类不等式在变形中的特殊性．常见题型有选择题、填空题，也有单独考查解不等式的解答题，或在综合题中考查解不等式的技巧．这部分内容充分体现高中数学所要求的“等价转换”与“分类讨论”的数学思想方法．在2010年的高考中，各省市高考试卷都有解不等式的影子，有的单独出题，如大纲全国卷理第13题是简单的无理不等式解法．文科第13题、Ⅱ卷理科第5题，文科第2题是分式不等式解法．有的是解题过程穿插解不等式．如大纲全国卷Ⅰ文第21题．2012年的高考中，不等式的解法是必考内容，一元二次不等式、分式不等式是考查的重点，对于以不等式为载体求参数取值范围的试题应予以关注，注意与其它知识的结合．规范解答例【名师点评】本题考查了函数的性质、极值、最值、单调性、不等式恒成立等，属中档偏上．外观上是函数问题，但解决问题的过程是解不等式问题，在(1)中确定单调区间时，要解f′(x)>0或f′(x)<0，在(2)中是解决3ax2＋3ax－1≤0恒成立求a.本题的入手点考生都知道，求导，但出错及难点就在解不等式上．可见解不等式是本题最关键最基础的，同时本题也考查了分类讨论思想，题目综合性较强．名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等都有可能考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．预测2012年广东高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑推理能力．规范解