高考数学总复习充分条件必要条件与命题的四种形式文-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第1章第3课时充分条件、必要条件与命题的四种形式文-A3演示文稿设计与制作第3课时充分条件、必要条件与命题的四种形式

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第3课时双基研习•面对高考1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则_______的充分条件，_______的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则_______的充要条件，q也是p的_____________．2．命题的四种形式(1)四种命题p是qq是p双基研习•面对高考基础梳理p是q充要条件若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是______________；否命题是______________；逆否命题是________________.(2)四种命题间的关系若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p思考感悟“否命题”与“命题的否定”有何不同？提示：

“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若綈p，则綈q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．1．命题“若a>0，则a2>0”的否命题是(

)A．若a2>0，则a>0

B．若a<0，则a2<0C．若a≤0，则a2≤0D．若a≤0，则a2≥0答案：C课前热身2．命题“若m>－2，则m>－3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数为(

)A．1B．2C．3D．3答案：B3．(2010年高考陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：A4．“a＝1”是“直线y＝ax＋1与y＝(a－2)x＋3垂直”的________条件．答案：充要5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的一个命题是________________________________．答案：若b∈M，则a∉M考点探究•挑战高考考点突破考点一四种命题及其关系在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零；(4)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．【思路分析】写成“若p，则q”的形式→写出逆命题、否命题、逆否命题→判断真假．【解】

(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(3)逆命题：若实数x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则实数x、y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(4)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题．否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．【名师点评】

(1)“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”、“x不是奇数y是奇数”、“x、y都不是奇数”三种情况；(2)“x＝0或y＝0”的否定是“x≠0且y≠0”，而不是“x≠0或y≠0”，因为“x＝0或y＝0”包含“x＝0且y≠0”、“x≠0且y＝0”、“x＝0且y＝0”三种情况．考点二充分条件与必要条件的判定判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义．如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p叫做q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的．例2【思路分析】先判断p⇒q是否成立，再判断q⇒p是否成立．【解】

(1)若∠A＝∠B，则sinA＝sinB，即p⇒q.又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.∴∠A＝∠B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)其逆否命题为：对于实数x、y，若x＝2且y＝6，则x＋y＝8，显然当x＝2，y＝6时，x＋y＝8成立；但当x＋y＝8时，x＝2且y＝6不一定成立，故p⇒q，

，∴p是q的充分不必要条件．【名师点评】

(1)要分清充分性和必要性；(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件”与“q的必要不充分条件是p”是等价的；(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑．若涉及参数问题解决起来较为困难时，注意运用等价转化．考点三充分条件与必要条件的应用例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的必要条件？若存在，求出m的范围．【误区警示】

(2)中“x∈P”是“x∈S”的必要条件，是由S⇒P即S是P的子集，并不一定是真子集．互动探究本例中条件不变，若(2)小题中“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，如何求解？方法技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．方法感悟(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．失误防范1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．(如例1)2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．(如例2)从近几年高考题来看，命题及其关系，此部分知识高考命题以选择题和填空题的形式出现，主要考查基本概念，四种命题中互为等价的命题是考查的重点．常以本节知识作为载体考查函数、立体几何、解析几何等内容(如2010年天津卷)；以逻辑推理知识为命题背景的解答题也会出现(如2010年湖南卷)．充要条件是每年高考必考内容，试题以选择题、填空题为主，考查的知识面非常考向瞭望•把脉高考考情分析广泛，如：数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念的考查都能以充要条件的形式出现(如2010年广东卷)．预测2012年高考仍将以充要条件，命题及其关系作为主要考点，重点考查考生对基础知识的掌握及应用能力．真题透析例

(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【解析】条件的否定是“f(x)不是奇函数”，结论的否定是“f(－x)不是奇函数”，故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．故选B.【答案】

B名师预测1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(

)A．“若x<y，则x2<y2”

B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”

D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.逆命题的否命题，由定义知选C.2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件3．已知实数a、b，则“ab≥2”是“a2＋b2≥4”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：选A.当ab≥2时，a2＋b2≥2ab≥4，充分性成立；当a2＋b2≥4时，取a＝－1，b＝3，有ab＝－3<2，此时ab≥2不成立，故必要性不成立，故选A.4．对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是(

)A．1B．2C．3D．4解析：选B.命题①：当c＝0时，ac＝bc⇒

a＝b，即“a＝b”只是“ac＝bc”的充分不必要条件；注意到无理数的概念与实数的加法运算，可知命题②是真命题；命题③：当a＝－3，b＝－5时，命题显然不成立，∴命题③为假命题；由不等式的性质，若a<3，必有a<5，∴命题④是真命题，综上所述，命题②④是真命题，故选B.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即