高考数学总复习导数的应用理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章§2.12导数的应用理-A3演示文稿设计与制作§2.12导数的应用

§2.12导数的应用考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．导数与函数的单调性导数单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)导数_________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增导数___________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减f′(x)>0f′(x)＜0思考感悟

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个_________，记作______________；如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个_________，记作_________________极大值与极小值统称为__________极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)．极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是____________②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是____________极大值．极小值．思考感悟

2．导数为零的点一定是极值点吗？提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0，但反过来不成立．如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事实上f(x)＝x3在R上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若f′(x)在x0的两侧异号，则x＝x0必是f(x)的一个极值点．3．函数的最值函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条___________的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断思考感悟

3．极值与最值有何区别与联系？提示：极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．课前热身1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则(

)A．a＝1，b＝1

B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R答案：D2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(

)答案：D3．若函数y＝ex＋

mx有极值，则实数m的取值范围是(

)A．m＞0 B．

m＜0C．

m＞1 D．

m＜1解析：选B.y′＝ex＋

m，函数y＝ex＋

mx有极值，则函数y＝ex＋

mx在定义域内不单调，∴

m＜0.4．(原创题)函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．5．(教材习题改编题)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.答案：32考点探究•挑战高考考点突破考点一利用导数研究函数的单调性此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要条件．例1【思路点拨】对(1)，先求导，再将导函数转化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨论解决问题；对(2)，由(1)作为基础，(2)的求解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值问题，求解即得．(2)当a＝3时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝1，x2＝2.由(1)知，在[1，e2]内，当x＝2时f(x)取得极值，f(1)＝0，f(2)＝2－3ln2，f(e2)＝e2－2e－2－5.因为f(2)<f(1)<f(e2)，所以f(x)在区间[1，e2]上的值域为[2－3ln2，e2－2e－2－5]．【误区警示】本题对综合能力要求较高，在考场解答中容易出现以下问题：(1)求导失误．不少考生在第一步出现计算上的错误，而导致失分．考场上作答时，即使到了最后也要沉着应战，把该拿的分拿到手．(2)求导后不能准确转化为二次函数去讨论，而是陷入分式函数的复杂讨论中不能自拔．解决这一点需要有较强的观察能力以及平时解决复杂问题的基本数学功底，这样才能保证在考场上的发挥．(3)对第(1)问解答，影响着第(2)问的求解．错误的发生就是因为第(1)问解答的失误，导致第(2)问得出错误结果．考点二利用导数研究函数的极值求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．(2010年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．【思路点拨】列表讨论f(x)与f′(x)的变化情况求单调区间与极值．【解】由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，例3当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：【名师点评】可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同．不可导的点也可能是极值点．①当a＞0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值．②当a＜0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值．综上所述，当a，b满足b2＞a时，f(x)能取得极值．考点三利用导数求函数的最值求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2010年高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．【思路点拨】

(1)由g(x)是奇函数可得关于a，b的方程，进而求得a，b的值．(2)利用g′(x)讨论g(x)的单调性，进而可求得极值，把g(x)的极值和在[1,2]上的端点值比较可求得最值．例2【名师点评】求在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点处的函数值进行比较，就可判定最大(小)值．考点四生活中的优化问题在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．例4(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【思路点拨】对(1)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)，利用导数求出最优解．【误区警示】本题作为一道中档题，在求解中容易出现如下问题：(1)没有理解问题中各个量之间的正确关系，而导致函数关系式出错；(2)由于本题导函数较为复杂，求解函数的导函数时容易出错；(3)求解应用题没有总结．变式训练2

(2010年高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cM)满足关系：方法感悟方法技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．(如例2变式)2．求极值时，要步骤规范．表格齐全，含参数时要讨论参数的大小．3．极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值．(如课前热身3)4．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．(如例4)失误防范1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．2．研究函数f(x)的极值是通过检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右函数值的符号来判定的，因此难点是如何判定这个根左、右函数f′(x)值的符号，并与函数f(x)的极大值、极小值对应．化解的方法是列出x、f′(x)、f(x)变化的图表，得到f′(x)在每个区间上的符号，即可得到函数对应的极大值、极小值．函数极值的另一个难以理解的问题是极大值、极小值的大小关系，即函数的极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．突破这一难点的方法是正确理解极值是一个局部的概念，可以通过画出函数在整个定义域上的图像，对比图像进行分析判断．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．4．要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识．考情分析考向瞭望•把脉高考从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性、极值、最值以及生活中的优化问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性或方程、不等式的综合应用．预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值、最值为主要考向，同时也应注意利用导数解答生活中的优化问题．规范解答例①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增.7分②当a≠0时，由f′(x)＝0，【名师点评】

(1)本题易失误的是：①忽视定义域的限制；②分类依据不明确，分类讨论时“重”或“漏”；③不能合理运用导数知识解题，思路受阻．(2)函数的导数与其单调性之间的关系可以从以下三个方面理解：①在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，其逆命题不成立，因为f′(x)≥0包括f′(x)＞0或f′(x)＝0，当f′(x)＞0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f′(x)＝0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，其逆命题不成立．③使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．名师预测当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命