高考数学总复习数列的概念大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第3章§3.1数列的概念大纲-A3演示文稿设计与制作§3.1数列的概念

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考3.1数列的概念双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的___．数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列______．它的图象是____________．基础梳理项函数值一群孤立的点数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an＝f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的________．2．数列的性质(1)有界性：若存在正数A，使得|an|≤A，则称数列{an}是有界数列．(2)单调性通项公式递增数列：数列{an}中，恒有______________；递减数列：数列{an}中，恒有an＋1<an(n∈N*)；摆动数列：数列{an}中，有时________，有时an<an＋1(n∈N*)；常数列：数列{an}中，恒有______________．(3)周期性：若存在正整数k，使得an＋k＝an，则{an}是周期数列，且周期为k.an>an＋1an＝an＋1(n∈N*)an＋1>an(n∈N*)4．递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的____公式．递推思考感悟(1){an}与an有何关系？(2)一个数列的通项公式是否唯一？提示：(1){an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}中的第n项．(2)不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有通项公式．课前热身答案：C2．已知a0＝1，a1＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n，(n∈N*)，则a3等于(

)A．33B．21C．17D．10答案：A3．已知an＋1＝an－2，则数列{an}是(

)A．递增数列

B．递减数列C．常数列

D．摆动数列答案：B4．如果数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋1，则an＝__________.答案：－1004考点探究·挑战高考考点突破考点一由数列的前几项写数列的通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．参考教材例2.例1【思路分析】

(1)循环数借助于10n－1来解决．(2)正负号交叉用(－1)n或(－1)n＋1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(3)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(4)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列(等差或等比数列)等方法求得通项．考点二由数列递推关系求通项公式例2【思路分析】

(1)转化后利用累乘法求解．(2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)．【误区警示】

an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1的情况．数列可看成自变量为N*(或其子集)的函数，函数的某些性质如单调性、最值等，数列同样适用．考点三数列的性质例3【思维总结】由于数列可以视为一类特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解．本题正是利用了换元的思想，将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项，即n的值只能取正整数，从而换元后变量t的取值范围也相应地被限制．方法技巧1．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“化归法”、“累加法”等．常见的解题规律有：(1)an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.如互动探究(1)方法感悟失误防范1．数列中项的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同．数列可看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集{1,2，…，n}的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．切记，两者不能混为一谈．如例3.2．数列由Sn求an时，要注意检验n＝1的情况是否适合an＝Sn－Sn－1；a1由S1来求，不能由an＝Sn－Sn－1来求．如例2的(2)和互动探究(2)．考向瞭望·把脉高考数列的概念在高考试题中很少独立命题，但是，数列的递推关系、归纳、猜想的数学推理思想会渗透在数列的试题之中，如猜想通项公式、单调性、周期性，进一步求数列中的某些项或和，近几年的高考中，涉及到数学史中的一些数列(数阵)等．多数都用到Sn与an的递推关系．考情分析如2010年的高考中四川卷第8题，上海理第10题，由矩阵转化为数列，课标全国卷理第17题，由递推关系累和求通项公式，陕西理9和12分别考查了数列的单调性和归纳法．预测2012年的高考中，以递推归纳为主，出现新的递推模型，考查数列的性质及计算．(2010年高考陕西卷)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件例真题透析【解析】由an＋1>|an|可得an＋1>an.∴{an}是递增数列．∴“an＋1>|an|”是“{an}为递增数列”的充分条件．当数列{an}为递增数列时，不一定有an＋1>|an|，如：－3，－2，－1,0,1，….∴“an＋1>|an|”不是“{an}为递增数列”的必要条件．【答案】

B【名师点评】本题以“充要条件”的知识考查数列的单调性质，设计新颖，难度不大，只要理解数列的递增性质an＋1>an，此题就容易得出答案，否则就错选为C.1．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于(

)A．15B．10C．9D．5解析：选A.由a2＝(2－λ)a1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，∴a3＝(2×2＋1)×3＝15，故应选A.名师预测3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为__________．解析：本题考查归纳推理．根据所给图形的规律，f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，由累加法可得f(n)＝2n2－2n＋1.答案：f(n)＝2n2－2n＋14．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是__________．解析：由数列{an}是递增数列，得an<an＋1对于n∈N*恒成立，即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)．整理得λ>－2n－1.而－2n－1≤－3，∴λ>－3.答案：(－3，＋∞)感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾