概率论第七章

1第1页，课件共43页，创作于2023年2月参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断

DE基本问题7-2第2页，课件共43页，创作于2023年2月什么是参数估计？参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X~N(,2),

点估计区间估计若,2未知，通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.第3页，课件共43页，创作于2023年2月参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的概率为给定的值.第4页，课件共43页，创作于2023年2月§7.1点估计例1

用一个仪器测量某物体的长度，假定测量长度总体X∼N(,2).现在进行五次测量，测量值(单位mm)为：53.2，52.9，53.3，52.8，52.5.总体X的均值和方差2未知?7-5很自然地，用样本均值和样本方差分别去估计总体均值和方差2，即第5页，课件共43页，创作于2023年2月点估计的思想方法设总体X的分布函数为F(x;1,2,,k)

，其中,1,2,,k是未知参数。设

X1,X2,…,Xn为总体的一个样本，构造k个统计量：随机变量7-5第6页，课件共43页，创作于2023年2月数值称数为未知参数的估计值问题如何构造统计量？如何评价估计量的好坏？对应的统计量为未知参数的估计量7-6当测得一组样本值(x1,x2,…,xn)时，代入上述统计量，即可得到k个数：第7页，课件共43页，创作于2023年2月矩估计法用样本的

k

阶原点矩作为总体的

k

阶原点矩的估计量,建立含有待估计参数的方程,从而可解出待估计参数7-9常用的点估计方法第8页，课件共43页，创作于2023年2月例2

设总体X~U(a,b),a,b未知，求a,b

的矩法估计量.解由于令7-15第9页，课件共43页，创作于2023年2月解得7-16第10页，课件共43页，创作于2023年2月7-11一般地，设待估计的参数为设总体的

r

阶矩存在，记为设X1,X2,…,Xn为一样本，样本的r阶矩记为令——含未知参数1,2,,k的方程组第11页，课件共43页，创作于2023年2月7-12解方程组，得k

个统计量：——未知参数1,2,,k

的矩估计量——未知参数1,2,,k

的矩估计值代入一组样本值得k个数:第12页，课件共43页，创作于2023年2月

∵X1,X2,,Xn是独立同分布的.∴X1r,X2r,,Xnr也是独立同分布的.于是有:

E(X1r)=E(X2r)==E(Xnr)=E(Xr)=

r

.根据大数定律,样本原点矩Ar作为X1r,X2r,,Xnr的算术平均值依概率收敛到均值

r=E(Xr)，即:矩方法的原理解释第13页，课件共43页，创作于2023年2月例3

设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量。解例4

设总体X~E(),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求的矩法估计量。解令7-13故第14页，课件共43页，创作于2023年2月极大似然估计法思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率

例如:有两个外形相同的箱子,都装有100个球第一箱：99个白球，1个红球第二箱：1个白球，99个红球现从两箱中任取一箱，并从箱中任取一球，结果所取得的球是白球。答第一箱.7-17问

所取的球来自哪一箱？第15页，课件共43页，创作于2023年2月例5

设总体X服从0-1分布，且P(X=1)=p,

用极大似然法求

p

的估计值。解X的概率分布可以写成设X1,X2,…,Xn为总体X的样本,设x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则7-18第16页，课件共43页，创作于2023年2月对于不同的p,L(p)不同，见下图现经过一次试验，发生了，事件则

p

的取值应使这个事件发生的概率L(p)最大。7-19第17页，课件共43页，创作于2023年2月在容许的范围内选择

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的单调增函数，故若某个p

使lnL(p)最大，则这个p必使L(p)最大。7-20所以为所求p的估计值.第18页，课件共43页，创作于2023年2月一般地，设X为离散型随机变量，其分布律为

X1,X2,…,Xn为总体X的样本,

x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则X1,X2,…,Xn的联合概率分布为：7-21或称L()为样本的似然函数。第19页，课件共43页，创作于2023年2月则称这样得到的为参数的极大似然估计值，记为称统计量为参数的极大似然估计量，记为7-22选择适当的=,使取最大值，即L()当给定一组样本值时，

就是参数的函数,极大似然估计法的思想就是：L()第20页，课件共43页，创作于2023年2月若随机变量X

连续,取f(xi,)为Xi

的密度函数似然函数为7-23注1注2未知参数个数可以不止一个,如1,2,…,k

设X

的密度函数(或概率分布)为则定义似然函数为第21页，课件共43页，创作于2023年2月若关于1,2,…,k

可微，为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使得似然函数取得最大值，即则称为1,2,…,k

的极大似然估计值则称7-24第22页，课件共43页，创作于2023年2月显然，称统计量为1,2,…,k

的极大似然估计量7-25第23页，课件共43页，创作于2023年2月例6

设总体X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的一组样本值，求,2的极大似然估计.解7-26第24页，课件共43页，创作于2023年2月

,2的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27第25页，课件共43页，创作于2023年2月求未知参数的极大似然估计值(量)的方法1）写出似然函数L2）求出,使得7-28第26页，课件共43页，创作于2023年2月可求得未知参数的极大似然估计值然后,再求得极大似然估计量.7-29L

是的可微函数,解似然方程组若

L

不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.请看下例：若第27页，课件共43页，创作于2023年2月例7

设X~U[a,b],x1,x2,…,xn是

X

的一个样本,求

a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.解X的密度函数为似然函数为7-30第28页，课件共43页，创作于2023年2月似然函数只有当a<xi<b,i=1,2,…,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取则对满足的一切a<b,都有7-31第29页，课件共43页，创作于2023年2月故是a,b的极大似然估计值.分别是a,b的极大似然估计量.7-32第30页，课件共43页，创作于2023年2月作业第七章习题2、4第31页，课件共43页，创作于2023年2月第32页，课件共43页，创作于2023年2月第33页，课件共43页，创作于2023年2月问题1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?2)若存在,是否惟一?第34页，课件共43页，创作于2023年2月设X~U(a–½,a+½),x1,x2,…,xn是

X的一个样本,求

a的极大似然估计值.解由上例可知,当时,L

取最大值1,即显然,a

的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.7-33例8第35页，课件共43页，创作于2023年2月不仅如此,任何一个统计量若满足都可以作为

a

的估计量.7-34第36页，课件共43页，创作于2023年2月极大似然估计值的不变性原理设是的极大似然估计值,u()()是的函数，且具有单值的反函数=(u),uU则是u()的极大似然估计值.7-35第37页，课件共43页，创作于2023年2月如：在正态分布总体N(,2)中，2的极大似然估计值为是2的单值函数，且具有单值的反函数，故的极大似然估计值为lg的极大似然估计值为7-36第38页，课件共43页，创作于2023年2月矩估计就不具有这个性质.例如设

X的密度函数为X1,X2,…,Xn为总体的样本7-37第39页，课件共43页，创作于2023年2月由矩法，令得与2的矩法估计量为——不具有不变性7-38第40页，课件共43页，创作于2023年2月顺序统计量法直观解释:用样本中位数Me估计总体中位数.用样本极差R

估计总体标准差.注:当总体为连续型且分布密度为对称时,总体中位数即是总体的数学期望.定理:设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(,2)的样本,Me是样本中位数,则有可以看出,当n充分大时因此,可取第41页，课件共43页，创作于2023年2月例7.1.7.设某种灯泡寿命X~