流体力学动力学

流体力学动力学第1页，课件共60页，创作于2023年2月粘性流体受力分析第2页，课件共60页，创作于2023年2月Pnn

运动实际流体应力四要素：点、面、侧、分量方向。一点处的应力pn

取决于作用面法向，所以脚标中须加上n§4—1运动流体的应力状态第3页，课件共60页，创作于2023年2月的含义：的含义：pn分量形式脚标含义：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。法向为x

轴正方向的作用面上的应力在y

方向的分量。（切应力）法向为x

轴正方向的作用面上的应力在x

方向的分量。（法向应力）应力分量第4页，课件共60页，创作于2023年2月由受力平衡方程,可得第5页，课件共60页，创作于2023年2月主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。应力张量九个量组成的二阶张量可以证明这个张量是对称的，只有六个独立的分量。应力张量法应力为正表示受拉第6页，课件共60页，创作于2023年2月有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：例如法向为n的作用面上应力的y方向的分量运动流体的应力状态可由应力张量来描述。任意方位作用面上的应力第7页，课件共60页，创作于2023年2月应力张量主对角线上三个元素之和是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。

流体的动压强流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力定义流体的动压强第8页，课件共60页，创作于2023年2月广义牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律推广

各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系广

义

牛

顿

内

摩

擦

定

律第9页，课件共60页，创作于2023年2月§4—2流体运动微分方程

理论基础是动量守

恒定律。按照欧拉观点表述动量守恒定律：单位时间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控制体的动量加上控制体内流体所受合力。第10页，课件共60页，创作于2023年2月用牛顿第二定律加以推导在流场中取一平行六面体，如图所示。其边长分别为dx，dy，dz，中心点为c(x,y,z)。中心点的压强为p=p(x,y,z)，密度为ρ=ρ(x,y,z)。因为研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力，作用于微元体上的单位质量力f,沿三个坐标轴的分量分别为X,Y,Z.0,理想流体的运动微分方程第11页，课件共60页，创作于2023年2月微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度a,根据牛顿第二定律：两端同除以微元体的质量,并整理有：第12页，课件共60页，创作于2023年2月写成矢量式：即为理想流体运动微分方程式，表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。(可压缩、不可压缩)第13页，课件共60页，创作于2023年2月

一.以应力表示的流体运动微分方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’单位时间

里，从abcd

面流入微元体的流体质量为流入微元体的x

方向的动量为从a’b’c’d’面流出的x

方向的动量为第14页，课件共60页，创作于2023年2月净流入前后这一对表面的x

方向的动量为同理可知，在单位时间里，沿着y

方向和z

方向净流入左右和上下两对表面的x

方向的动量分别为和dxabcda’b’dydzc’d’uzuyxyzo第15页，课件共60页，创作于2023年2月作用于六面体表面沿x

方向的表面力有：前后一对面元法向力左右一对面元切向力-pzxxyzo上下一对面元切向力相加得沿x方向的总表面力dxdzdy-pyx-pxx第16页，课件共60页，创作于2023年2月作用于六面体微元沿x方向的质量力为单位时间微元内x方向动量的增加为

根据动量守恒原理动量增加流入动量质量力表面力第17页，课件共60页，创作于2023年2月0由连续方程知左边等于整理得第18页，课件共60页，创作于2023年2月方程组不封闭以应力表示的流体运动微分方程将广义牛顿内摩擦定律代入得二.不可压缩粘性流体的运动微分方程——N-S方程第19页，课件共60页，创作于2023年2月0不可压拉普拉斯算子对跟随其后的量求调和量第20页，课件共60页，创作于2023年2月矢量形式时变

惯性力位变

惯性力质量力压差力粘性力运动方程组第21页，课件共60页，创作于2023年2月时变

惯性力位变

惯性力质量力压差力三.不可压缩理想流体的运动微分方程——欧拉方程矢量形式第22页，课件共60页，创作于2023年2月不可压缩理想流体的微分方程组第23页，课件共60页，创作于2023年2月流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程四.流体动力学定解问题微分形式流体运动方程连同连续性方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p

和u

，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。基本微分方程组第24页，课件共60页，创作于2023年2月边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。初始条件和边界条件流体动力学定解问题流体运动基本方程初始条件边界条件流动共性体现个性初始条件是对非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。第25页，课件共60页，创作于2023年2月理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。实际（粘性）流体的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，所以

注：以上u和U分别表示附着在固壁上的流体质点与固壁上相应点的速度。u=U*************第26页，课件共60页，创作于2023年2月五.理想流体的运动微分方程的积分下面讨论恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。理想流体恒定流动++（dx,dy,dz)是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。第27页，课件共60页，创作于2023年2月上式左边可改写为：质量力有势，势函数W，即重力场中第28页，课件共60页，创作于2023年2月右边后三项为不可压缩流体，密度为常数最终原等式可写成则右边前三项是力势函数W

的全微分或第29页，课件共60页，创作于2023年2月在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的

值是一个常数。其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作Cl，称为流线常数。上式沿流线的积分为伯努利积分结论第30页，课件共60页，创作于2023年2月这是流体力学中普遍使用的方程。重力场中的伯努利积分伯努利积分可写为或对同一流线上任意两点1

和2

利用伯努利积分，即有12zuo伯努利方程o流线第31页，课件共60页，创作于2023年2月§4—3恒定流的能量方程

一.恒定元流的能量方程欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移作积分，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。伯努利方程的物理意义****************单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能）单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）****************第32页，课件共60页，创作于2023年2月伯努利积分单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）****************在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。拉格朗日观点欧拉观点第33页，课件共60页，创作于2023年2月位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头

伯努利方程的几何意义伯努利积分各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。****************第34页，课件共60页，创作于2023年2月将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。水头线测压管水头线总水头线位置水头线oo水平基准线理想流体恒定元流的总水头线是水平的。第35页，课件共60页，创作于2023年2月毕

托

管

测

速

元流能量方程的应用举例AhⅡ管BⅠ管u代入伯努利方程假设

Ⅰ、Ⅱ管的存在不扰动原流场。第36页，课件共60页，创作于2023年2月毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。实际使用中，在测得h，计算流速u

时，还要加上毕托管修正系数c，即实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。Ⅰ管——测压管，开口方向与流速垂直。Ⅱ管——总压管，开口方向迎着流速。Ⅰ管Ⅱ管Ⅰ管测压孔Ⅱ管测压孔********************************第37页，课件共60页，创作于2023年2月V第38页，课件共60页，创作于2023年2月Example:Findarelationbetweennozzledischargevelocityandtankfree-surfaceheighth.Assumesteadyfrictionlessflow.h12V2第39页，课件共60页，创作于2023年2月Solution:h12V2Continuity:Bernoulli:Torricelli1644第40页，课件共60页，创作于2023年2月AccordingtotheBernoulliequation,thevelocityofafluidflowingthroughaholeinthesideofanopentankorreservoirisproportionaltothesquarerootofthedepthoffluidabovethehole.Thevelocityofajetofwaterfromanopenpopbottlecontainingfourholesisclearlyrelatedtothedepthofwaterabovethehole.Thegreaterthedepth,thehigherthevelocity.第41页，课件共60页，创作于2023年2月

二.恒定总流的能量方程为把总流能量方程的表达一维化，将测压管水头与流速水头的积分分开考虑。总流是无数元流的累加理想流体恒定总流各过水断面上的能量流量相等理想流体恒定元流各过水断面上的能量流量相等****************第42页，课件共60页，创作于2023年2月解决测压管

水头的积分寻求平均

测压管水头考察均匀流的过水断面上

测压管水头的分布情况均匀流的过流断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过流断面上测压管水头是常数第43页，课件共60页，创作于2023年2月渐变流过水断面上测压管水头的积分急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^在弯管的过流断面上，流动速度在弯管的内侧速度大，外侧流动速度小；在弯管的有效截面上内侧压强小，外侧压强大。

第44页，课件共60页，创作于2023年2月渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO1232第45页，课件共60页，创作于2023年2月23z1z3z2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向第46页，课件共60页，创作于2023年2月

α

称为动能修正系数。它是一个大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。流速分布越均匀，越接近于1.0；流速分布越不均匀，α

的数值越大。在一般的渐变流中的α值为1.05-1.10.为简单起见，也常近似地取α=1.0.用断面平均流速v

代替u，并不能作为的平均值设为速度水头

的平均值解决速度

水头的积分*******************************第47页，课件共60页，创作于2023年2月

理想不可压流体恒定总流，流动中无机械能损耗，通过各过水断面的能量流量相同，而由连续方程决定了重量流量

沿程不变，所以在任意两个分别位于总流的渐变流段中的过水断面A1和A2有

总流通过渐变流段中过水断面的能量通量为断面单位重量流体的总机械能（即总水头）为理想不可压缩流体恒定总流的能量方程即A1A2*******第48页，课件共60页，创作于2023年2月完成了对恒定总流能量方程的一维化表达在总流能量方程的上述表达式中断面平均流速v

、动能修正系数α

和测压管水头的取值都是由

断面唯一确定的，条件是过水断面应处于均匀流(渐变流)段中。第49页，课件共60页，创作于2023年2月断面A1是上游断面，断面A2是下游断面，hw1-2为总流在断面A1和A2之间平均每单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失。水头损失如何确定，将在后面叙述。采取补上流体在流动过程中机械能损耗的方法，将理想流体的能量方程推广到实际流体。实际流体恒定总流

的能量方程分析水力学问题最常用的方程式第50页，课件共60页，创作于2023年2月总流水头线的画法和元流水头线是相仿的，其中位置水头线一般为总流断面中心线。恒定总流能量方程的几何表示——水头线与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oo***********第51页，课件共60页，创作于2023年2月恒定总流能量方程的应用条件（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。（2）作用于流体上的质量力只有重力。（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这一条件。但在两个断面之间流动可以不是渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点或渠道水面点。第52页，课件共60页，创作于2023年2月

有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程如图为沿程有分流或汇流的情况。在分流时，。可分别列出断面1、2及断面1、3之间可伯努利方程

第53页，课件共60页，创作于2023年2月对于汇流情况，也可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得总能量守恒的伯努利方程将上面第一、二个方程两边分别乘以再相加，得总能量守恒的伯努利方程第54页，课件共60页，创作于2023年2月先看一个跌水的例子。取顶上水深处为1-1断面，平均流速为v1，取水流跌落高度处为断面2-2，平均流速为v2，认为该两断面均取在渐变流段中。基准面通过断面2-2的中心点。

三.能量方程的应用举例恒定总流能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。1122oahv1v2o%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第55页，课件共60页