高数课件不定积分d2 5微分

求其反函数的导数.1

+

ex¢1y方法2

等式两边同时对

y

求导d

x

d

xd

y

d

y复习与思考题1.

设解:

方法1机动目录上页下页返回结束,求0\d

x

t

=d

y2.

设解：方程组两边同时对t

求导,得d

yd

t机动目录上页下页返回结束一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节函数的微分第二章机动目录上页下页返回结束一、微分的概念x0DxDx)2x0Dx(DxA

=

x20x0关于△x

的线性主部Dx

fi

0

时为高阶无穷小故称为函数在x0

的微分得增量D

x

时,面积的增量为引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0

变到x0

+

Dx

,

问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x

,面积为A

,则A

=x2

,当x

在x0取机动目录上页下页返回结束定义:若函数定理:

函数在点

x0

的增量可表示为=

ADx

+

o(Dx)(A

为不依赖于△x

的常数)在点x0

可微的充要条件是即dy

=

f

(x0

)Dx则称函数

y

=

f

(x)

在点的微分,

记作dy

=

ADx可微,而AD

x

称为即机动目录上页下页返回结束证:“必要性”已知在点 可微

,

则Dxfi

0Dxfi

0

Dx\

lim

D

y

=

lim

(

A

+

o(Dx)

)

=

A故D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

=

ADx

+

o(Dx)Dx在点 的可导,

且在点x0

可微的充要条件是定理:函数在点 处可导,

且即dy

=

f

(x0

)Dx机动目录上页下页返回结束在点x0

可微的充要条件是定理:函数在点 处可导,

且即dy

=

f

(x0

)Dx“充分性”已知0lim

D

y

=

f

¢(x

)Dxfi

0

Dx0Dx\

D

y

=

f

¢(x

)

+a( lim

a

=

0

)Dxfi

0故

D

y

=

f

(x0

)Dx

+a

Dx

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)线性主部即

dy

=

f

(x0

)Dx在点 的可导,

则机动目录上页下页返回结束Dxfi

0

dyDylim

Dy

=

limDxfi

0

f

¢(x0

)Dx=f

¢(x0

)

Dxfi

0

Dx1lim

Dy

=1说明:

Dy

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)dy

=

f

(x0

)Dx当

f

(x0

)

„

0

时

,所以Dx

fi

0

时

D

y

与dy

是等价无穷小,

故当

Dx很小时,

有近似公式D

y

»

dy机动目录上页下页返回结束xyoy

=

f

(x)a0x0

+DxxDydyDxdy

=

f

(x0

)Dx

=

tana当Dx

很小时,

Dy

»

dy当y

=x

时，则有dy

=

f

(x)

dx从而dxdy

=

f

¢(x)导数也叫作微商微分的几何意义

切线纵坐标的增量Dy

=Dx

记dx=称Dx为自变量的微分,

记作

dx机动目录上页下页返回结束例如,y

=

x3

,dyx

=

2dx

=

0.02=

3x2dxx

=

2dx

=

0.02=

0.24y

=

arctan

x

,11

+

x2dy

=

dx基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则(C

为常数)=

f

(u)

j

(x)

dxdudy

=

f

(u)

du微分形式不变设

u(x)

,

v(x)

均可微

,

则=

du

–

dv=

vdu

+

udv5.

复合函数的微分分别可微,则复合函数 的微分为机动目录上页下页返回结束例1.解:121

+

exdy

=求2d(1

+

ex

)=12xdx1+

ex21ex221

+

ex=2xex2=

2

dx1

+

exex2

d

(x2

)机动目录上页下页返回结束例2.

设求解:

利用一阶微分形式不变性

,

有d(

y

sin

x)

-

d(cos(x

-

y))

=

0sin

x

dy

+

y

cos

x

dx

+sin(

x

-

y)

(dx

-

dy)

=

0dy

=

y

cos

x

+sin(

x

-

y)

dxsin(

x

-

y)

-sin

x例3.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:2w(1) d(

1

x2

+

C

)

=

xdx(2)d(

1

sin

wt

+

C)

=

cosw

t

d

t说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.注意目录上页下页返回结束22

=

(

4

)(

–

2

)2

=

44sin

p

=

(22

)224sin(

p

+

2kp

)

=数学中的反问题往往出现多值性,例如注意目录上页下页返回结束三、微分在近似计算中的应用使用原则:

1)f

(x0

),

f

(x0

)好算;2)

x

与x0

靠近.D

y

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)当

Dx

很小时,

得近似等式:D

y=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

»

f

(x0

)Dxf

(x0

+

Dx)

»

f

(x0

)

+

f

(x0

)Dx令x

=x0

+Dxf

(x)

»

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)机动目录上页下页返回结束特别当

x0

=

0

,

x

很小时,f

(x)

»

f

(0)

+

f

(0)x常用近似公式:

(

x

很小)xxx1

+

x1

+a

xf

(x)

=

(1+

x)a证明:

令得f

(0)

=1,f

(0)

=a\

当

x

很小时,机动目录上页下页返回结束180解:

设

f

(x)

=

sin

x

,取则dx

=-p180

62

2=

1

+

3

(-0.0175)6

180例4.

求 的近似值

.sin

29

=

sin

29

p

»

sin

p

+

cos

p

(-

p

)机动目录上页下页返回结束的近似值.解:35

=

2431=

(243

+

2)51)52432=

3

(1+2

)5

243»

3

(1+

1=

3.0048例5.

计算(1+

x)a

»1+a

x机动目录上页下页返回结束R

=1DR

=

0.01=

4p

R2DRR

=1DR

=

0.01»

0.13

(cm3

)因此每只球需用铜约为8.9

·0.13

=1.16

(

g

)例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,估计一下,每只球需用铜多少克.解:已知球体体积为镀铜体积为

V

在 时体积的增量机动目录上页下页返回结束四、

微分在估计误差中的应用某量的精确值为

A

,

其近似值为

a

,称为a

的绝对误差称为a

的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A

的相对误差限机动目录上页下页返回结束误差传递公式:按公式 计算

y

值时的误差»

dy

=

f

(x)

Dx故

y

的绝对误差限约为

dy

»

f

(x)

dxx相对误差限约为

dy

»

f

(x)

dy f

(x)若直接测量某量得x

,已知测量误差限为dx

,机动目录上页下页返回结束例7.

设测得圆钢截面的直径绝对误差限

欲利用公式圆钢截面积,

试估计面积的误差

.解:

计算

A

的绝对误差限约为测量D

的计算(mm)A

的相对误差限约为机动目录上页下页返回结束内容小结微分概念微分的定义及几何意义可微可导2.

微分运算法则微分形式不变性

:

d

f

(u)

=

f

(u)

d

u(u

是自变量或中间变量)3.

微分的应用近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束思考与练习1.

设函数的图形如下,试在图中标出的点dy

<

0x0

+

Dxx0xoD

y<

0x0

处的dy

,Dy

及Dy

-dy

,并说明其正负.Dy

-

dy

<

0y机动目录上页下页返回结束de-x2.

d(arctan

e-x

)

=11+

e-2

xdx=1+

e-2

x-

e-xdsin

x3.

d

tan

x

=sec3