解析版2021年湖南省岳阳市中考数学真题课件

2021

年湖南省岳阳市中考数学真题及答案（满分

120

分，考试时量

90

分钟）一、选择题（本大题共

8

小题，每小题

3

分，满分

24

分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．在实数

，﹣1，0，2

中，为负数的是（

）A． B．﹣1 C．0 D．22．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）C．D．）A． B．3．下列运算结果正确的是（A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a24．已知不等式组

，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线

a∥b，则∠1

的大小为（ ）A．45° B．60° C．75° D．105°6．下列命题是真命题的是（A．五边形的内角和是

720°C．内错角相等）B．三角形的任意两边之和大于第三边D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（

）A．9.0，8.9B．8.9，8.9C．9.0，9.0

D．8.9，9.08．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形

OABC

中，点

A（0，2），点

C（2，0），则互异二次函数

y＝（x﹣m）2﹣m

与正方形

OABC

有交点时

m

的最大值和最小值分别是（ ），﹣1A．4，﹣1 B． ，﹣1 C．4，0 D．二、填空题（本大题共

8

小题，每小题

4

分，满分

32

分）9．因式分解：x2+2x+1＝

．10．2021

年

5

月

15

日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为

55000000

公里，数据

55000000

用科学记数法表示为

．一个不透明的袋子中装有

5

个小球，其中

3

个白球，2

个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为

．已知关于

x

的一元二次方程

x2+6x+k＝0

有两个相等的实数根，则实数

k

的值为

．要使分式 有意义，则

x

的取值范围为

．已知

x+

＝ ，则代数式

x+

﹣ ＝

．15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多

6

尺

8

寸，门线距离恰好为

1

丈．问门高、宽各是多少？（1

丈＝10

尺，1

尺＝10

寸）如图，设AB

为

x

尺，根据题意，可列方程为

．两

隅对

角门

高如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB

的垂直平分线分别交

AB、AC

于点

D、E，BE＝8，⊙O

为△BCE

的外接圆，过点

E

作⊙O

的切线

EF

交

AB

于点

F，则下列结论正确的是

.（写出所有正确结论的序号）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则 的长为 ；④ ＝ ；⑤若

EF＝6，则

CE＝2.24．三、解答题（本大题共

8

小题，满分

64

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6

分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（

﹣π）0．18．（6

分）如图，在四边形

ABCD

中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点

E，F．）

请你只添加一个条件（

不另加辅助线），

使得四边形

AECF

为平行四边形，

你添加的条件是

；添加了条件后，证明四边形

AECF

为平行四边形．19．（8

分）如图，已知反比例函数

y＝

（k≠0）与正比例函数

y＝2x

的图象交于

A（1，m），B

两点．求该反比例函数的表达式；若点

C

在

x

轴上，且△BOC

的面积为

3，求点

C

的坐标．20．（8

分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间

t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：请根据图表信息回答下列问题：频数分布表中，a＝

，b＝

；扇形统计图中，C

组所在扇形的圆心角的度数是

°；请估算该校

600

名八年级学生中睡眠不足

7

小时的人数；研究表明，初中生每天睡眠时长低于

7

小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．21．（8

分）星期天，小明与妈妈到离家

16km

的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h

后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的

4

倍，求妈妈开车的平均速度．22．（8

分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该组别睡眠时间分组频数频率At＜640.08B6≤t＜780.16C7≤t＜810aD8≤t＜9210.42Et≥9b0.14河旁有一座小山，山高

BC＝80m，坡面

AB

的坡度

i＝1：0.7（注：坡度

i

是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点

C、A

与河岸

E、F

在同一水平线上，从山顶

B

处测得河岸

E

和对岸

F

的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．求山脚

A

到河岸

E

的距离；若在此处建桥，试求河宽

EF

的长度．（结果精确到

0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）23．（10

分）如图，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点

D

为

AB

的中点，连接

CD，将线段

CD

绕点

D

顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段

ED，且

ED

交线段

BC

于点

G，∠CDE

的平分线

DM

交

BC于点

H．如图

1，若α＝90°，则线段

ED

与

BD

的数量关系是

ED＝BD ， ＝

；如图

2，在（1）的条件下，过点

C

作

CF∥DE

交

DM

于点

F，连接

EF，BE．①试判断四边形

CDEF

的形状，并说明理由；②求证： ＝ ；如图

3，若

AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点

C

作

CF∥DE

交

DM

于点

F，连接

EF，BE，请直接写出 的值（用含

m

的式子表示）．24．（10

分）如图，抛物线

y＝ax2+bx+2

经过

A（﹣1，0），B（4，0）两点，与

y

轴交于点

C，连接

BC．求该抛物线的函数表达式；如图

2，直线

l：y＝kx+3

经过点

A，点

P

为直线

l

上的一个动点，且位于

x

轴的上方，点

Q

为抛物线上的一个动点，当

PQ∥y

轴时，作

QM⊥PQ，交抛物线于点

M（点

M

在点

Q

的右侧），以

PQ，QM

为邻边构造矩形

PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图

3，设抛物线的顶点为

D，在（2）的条件下，当矩形

PQMN

的周长取最小值时，抛物线上是否存在点

F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点

F

的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共

8

小题，每小题

3

分，满分

24

分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．在实数

，﹣1，0，2

中，为负数的是（

）A． B．﹣1 C．0 D．2【知识考点】实数．【思路分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．【解题过程】解：在 ，﹣1，0，2

这四个数中，负数是﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义．2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）B． C． D．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解题过程】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．3．下列运算结果正确的是（ ）A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8

C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；平方差公式．【思路分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．【解题过程】解：3a

和

a

属于同类项，所以

3a﹣a＝2a，故

A

项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得

a2•a4＝a6，故

B

项不符合题意，根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故

C

项符合题意，（﹣a）2＝a2，故

D

项不符合题意，故选：C．【总结归纳】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）B． C． D．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式

x﹣1＜0，得：x＜1，解不等式

2x≥﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故选：D．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线

a∥b，则∠1

的大小为（ ）A．45° B．60° C．75° D．105°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质可得∠1+∠ABC＝180°，进而可求出∠1．【解题过程】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．6．下列命题是真命题的是（A．五边形的内角和是

720°C．内错角相等【知识考点】命题与定理．）B．三角形的任意两边之和大于第三边D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【思路分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解题过程】解：A、五边形的内角和为

540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．【总结归纳】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大．7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0【知识考点】算术平均数；众数．【思路分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以

5

即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．【解题过程】解：

＝ ＝9.0,该组数众数为：9.0，∴这五个有效评分的平均数和众数分别为

9.0，9.0，故选：C．【总结归纳】本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键．异二次异二次别

是8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互函数”．如图，在正方形

OABC

中，点

A（0，2），点

C（2，0），则互函数y＝（x﹣m）2﹣m

与正方形

OABC

有交点时

m

的最大值和最小值分（

）A．4，﹣1B．，﹣1C．4，0D．

，﹣1【知识考点】二次函数的性质；正方形的性质．【思路分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点

A，再逐渐经过点

O，点

B，点

C，最后再经过点

B，且在运动的过程中，两次经过点

A，两次经过点

O，点

B

和点

C，只需算出当函数经过点

A

及点

B

时

m

的值，即可求出

m

的最大值及最小值．【解题过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数

y＝（x﹣m）2﹣m

的顶点（m，﹣m）在直线

y＝﹣x上运动，在正方形

OABC

中，点

A（0，2），点

C（2，0），∴B（2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点

A，再逐渐经过点

O，点

B，点

C，最后再经过点

B，且在运动的过程中，两次经过点

A，两次经过点

O，点

B

和点

C，∴只需算出当函数经过点

A

及点

B

时

m

的值，即可求出

m

的最大值及最小值．当互异二次函数

y＝（x﹣m）2﹣m

经过点

A（0，2）时，m＝2，或

m＝﹣1；当互异二次函数

y＝（x﹣m）2﹣m

经过点

B（2，2）时，m＝

或

m＝

．∴互异二次函数

y＝（x﹣m）2﹣m

与正方形

OABC

有交点时

m

的最大值和最小值分别是

，﹣1．故选：D．【总结归纳】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．二、填空题（本大题共

8

小题，每小题

4

分，满分

32

分）9．因式分解：x2+2x+1＝

．【知识考点】因式分解﹣运用公式法．【思路分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解题过程】解：x2+2x+1＝（x+1）2,故答案为：（x+1）2．【总结归纳】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．10．2021

年

5

月

15

日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为

55000000

公里，数据

55000000

用科学记数法表示为

．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】根据科学记数法的方法对

55000000

进行科学记数即可．【解题过程】解：55000000＝5.5×107，故答案为：5.5×107．【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键．一个不透明的袋子中装有

5

个小球，其中

3

个白球，2

个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为

．【知识考点】概率公式．【思路分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解题过程】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有

5

种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为

3，∴摸出的小球是红球的概率为

，故答案为：

．【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件

A

的概率

P（A）＝事件

A

可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．已知关于

x

的一元二次方程

x2+6x+k＝0

有两个相等的实数根，则实数

k

的值为

．【知识考点】根的判别式．【思路分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4k＝0，然后解关于

k

的方程即可．【解题过程】解：根据题意，△＝62﹣4k＝0，解得

k＝9,故答案为

9．【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程

ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac

有如下关系：当△＞0

时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0

时，方程有两个相等的实数根．要使分式 有意义，则

x

的取值范围为

．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】先根据分式有意义的条件列出关于

x

的不等式，求出

x

的取值范围即可．【解题过程】解：∵分式 有意义，∴x﹣1≠0，解得

x≠1．故答案为：x≠1．【总结归纳】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．已知

x+

＝ ，则代数式

x+

﹣ ＝

．【知识考点】二次根式的化简求值．【思路分析】把

x+

的值代入计算即可．【解题过程】解：∵x+

＝ ，∴x+

﹣

＝

﹣

＝0，故答案为：0．【总结归纳】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多

6

尺

8

寸，门线距离恰好为

1

丈．问门高、宽各是多少？（1

丈＝10

尺，1

尺＝10

寸）如图，设AB

为

x

尺，根据题意，可列方程为

．【知识考点】勾股定理的应用．【思路分析】设门高

AB

为

x

尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得于

x

的一元二次方程，此题得解．【解题过程】解：设门高

AB

为

x

尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1

丈＝10

尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．两

隅对

角门

高出

关【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB

的垂直平分线分别交

AB、AC

于点

D、E，BE＝8，⊙O

为△BCE

的外接圆，过点

E

作⊙O

的切线

EF

交

AB

于点

F，则下列结论正确的是

.（写出所有正确结论的序号）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，则 的长为 ；④ ＝ ；⑤若

EF＝6，则

CE＝2.24．【知识考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质．【思路分析】①DE

垂直平分

AB，AE＝BE，BE＞BC，则

AE＞BC，故①错误；②由题可知，四边形

DBCE

是⊙O

的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；③连接

OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则 的长为 ＝ ，故③错误；④易得△EDF∽△BEF，则 ＝ ，故④正确；⑤在

Rt△BEF

中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则

BE：AC＝EF：BC＝6：8，设

BE＝6m，则AC＝8m，则

CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得

m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．【解题过程】解：①∵DE

垂直平分

AB，∴AE＝BE，又在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∴BE＞BC，∴AE＞BC，故①错误；②由题可知，四边形

DBCE

是⊙O

的内接四边形，∴∠AED＝∠CBD，故②正确；③连接

OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，，故③错误；∴ 的长为

＝④∵EF

是⊙O

的切线，∴∠BEF＝90°，又

DE⊥AB，∴∠EDF＝∠BEF＝90°，∴△EDF∽△BEF，∴ ＝ ，故④正确；⑤在

Rt△BEF

中，EF＝6，BE＝8，∴BF＝10，由①AE＝BE＝8，∴∠A＝∠ABE，又∠C＝∠BEF＝90°，∴△BEF∽△ACB，∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，设

BC＝6m，则

AC＝8m，则

CE＝8m﹣8，在

Rt△BCE

中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得

m＝1.28，∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．三、解答题（本大题共

8

小题，满分

64

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6

分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（

﹣π）0．【知识考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．【解题过程】解：原式＝﹣1+2+4×

﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．【总结归纳】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18．（6

分）如图，在四边形

ABCD

中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点

E，F．）

请你只添加一个条件（

不另加辅助线），

使得四边形

AECF

为平行四边形，

你添加的条件是

；添加了条件后，证明四边形

AECF

为平行四边形．【知识考点】平行四边形的判定．【思路分析】（1）由题意添加条件即可；（2）证

AE∥CF，再由

AE＝CF，即可得出结论．【解题过程】解：（1）添加条件为：AE＝CF，故答案为：AE＝CF；（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形

AECF

为平行四边形．【总结归纳】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．19．（8

分）如图，已知反比例函数

y＝

（k≠0）与正比例函数

y＝2x

的图象交于

A（1，m），B

两点．求该反比例函数的表达式；若点

C

在

x

轴上，且△BOC

的面积为

3，求点

C

的坐标．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）先把

A（1，m）代入

y＝2x

中，即可算出点

A

的坐标，再把点

A

的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；（2）过点

B

作

BD

垂直与

x

轴，垂足为

D，设点

C

的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B

的坐标，由题意可得

BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出

a

的值，即可得出答案．【解题过程】解：（1）把

A（1，m）代入

y＝2x

中，得

m＝2，∴点

A

的坐标为（1，2），把点

A（1，2）代入

y＝

中，得

k＝2，∴反比例函数的解析式为

y＝

；（2）过点

B

作

BD

垂直与

x

轴，垂足为

D，设点

C

的坐标为（a，0），∵点

A

与点

B

关于原点对称，∴点

B

的坐标为（﹣1，﹣2），∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，S△BOC＝＝ ，解得：a＝3

或

a＝﹣3，∴点

C

的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．20．（8

分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间

t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别睡眠时间分频数频率组At＜640.08B6≤t＜780.16C7≤t＜810aD8≤t＜9210.42Et≥9b0.14请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中，a＝

0.2 ，b＝

7 ；扇形统计图中，C

组所在扇形的圆心角的度数是

72 °；请估算该校

600

名八年级学生中睡眠不足

7

小时的人数；研究表明，初中生每天睡眠时长低于

7

小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【思路分析】（1）根据

B

组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数据，即可计算出

a、b

的值；根据

C

组的频率可计算出扇形统计图中

C

组所在扇形的圆心角的大小；根据每天睡眠时长低于7

小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7

小时的人数．根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．【解题过程】解：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），a＝10÷50＝0.2，b＝50﹣4﹣8﹣10﹣21＝7，故答案为：0.2，7；（2）扇形统计图中

C

组所在扇形的圆心角的大小是：360°×

＝72°，故答案为：72；（3）600× ＝144（人），答：估计该校

600

名八年级学生中睡眠不足

7

小时的人数有

144

人；（4）按时入睡，保证睡眠时间．【总结归纳】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8

分）星期天，小明与妈妈到离家

16km

的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h

后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的

4

倍，求妈妈开车的平均速度．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设小明骑自行车的平均速度为

xkm/h，则妈妈开车的平均速度为

4xkm/h，根据时间＝路程÷速度，结合小明比妈妈多用

1h，即可得出关于

x

的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解题过程】解：设小明骑自行车的平均速度为

xkm/h，则妈妈开车的平均速度为

4xkm/h，依题意得：

﹣

＝1，解得：x＝12，经检验，x＝12

是原方程的解，且符合题意，∴4x＝48．答：妈妈开车的平均速度为

48km/h．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（8

分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高

BC＝80m，坡面

AB

的坡度

i＝1：0.7（注：坡度

i

是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点

C、A

与河岸

E、F

在同一水平线上，从山顶

B

处测得河岸

E

和对岸

F

的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．求山脚

A

到河岸

E

的距离；若在此处建桥，试求河宽

EF

的长度．（结果精确到

0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【知识考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】（1）在

Rt△ABC

中，根据

AB

的坡度求出

AC，在

Rt△BCE

中，根据等腰直角三角形的性质可得

CE＝BC，由线段的和差即可求得

AE；（2）在

Rt△BCF

中，由三角函数的定义求出

CF

的长，根据线段的和差即可求出

EF

的长度．【解题过程】解：（1）在

Rt△ABC

中，BC＝80，∵AB

的坡度

i＝1：0.7，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AC＝56，在

Rt△BCE

中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠BEC＝∠CBE，∴CE＝BC＝80，∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），答：山脚

A

到河岸

E

的距离为

24m；（2）在

Rt△BCF

中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝ ，∴ ≈0.6，∴CF≈133.33，∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），答：河宽

EF

的长度约

53.3m．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．23．（10

分）如图，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点

D

为

AB

的中点，连接

CD，将线段

CD

绕点

D

顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段

ED，且

ED

交线段

BC

于点

G，∠CDE

的平分线

DM

交

BC于点

H．如图

1，若α＝90°，则线段

ED

与

BD

的数量关系是

ED＝BD ， ＝

；如图

2，在（1）的条件下，过点

C

作

CF∥DE

交

DM

于点

F，连接

EF，BE．①试判断四边形

CDEF

的形状，并说明理由；②求证： ＝ ；如图

3，若

AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点

C

作

CF∥DE

交

DM

于点

F，连接

EF，BE，请直接写出 的值（用含

m

的式子表示）．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到

AC＝CD＝BD，根据旋转的性质可以得到

CD＝DE，则

DE＝BD；又在

Rt△CGD

中，含

30°的直角三角形边之间的关系可得结论；①由∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，得

CF＝CD＝ED，又

CF∥DE，则四边形

CDEF

是菱形，又∠CDE＝90°，可得结论：菱形

CDEF

是正方形．②由题意可得，∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，则△BEG∽△FHC，又

DG＝BG，CD＝CF，所以 ＝ ＝＝ ．过点

D

作

DN⊥BC

于点

N，由

tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝ ＝m，得

NG＝m，所以

DG＝．＝ ，又△BEG∽△FHC，DG＝BG，CD＝CF，所以 ＝ ＝ ＝【解题过程】解：（1）在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，点

D

为

AB

的中点，∴AD＝CD＝BD，∵∠A＝60°，∴∠B＝30°，△ACD

是等边三角形，∴∠DCB＝30°，∵∠CDE＝α＝90°，∴tan∠CGD＝tan60°＝ ＝ ，∴ ＝ ．∵线段

CD

绕点

D

顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段

ED，∴ED＝CD＝BD，故答案为：ED＝BD； ．（2）①四边形

CDEF

是正方形，理由如下，∵DM

平分∠CDE，∠CDE＝90°，∴∠CDM＝∠EDM＝45°，∵CF∥DE，∴∠CFD＝∠EDM＝45°，∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，∴CF＝CD＝ED，∴四边形

CDEF

是菱形，∵∠CDE＝90°，∴菱形

CDEF

是正方形．②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，∴∠DBE＝∠DEB＝75°，∴∠EBG＝45°，∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，∴∠GDB＝∠ABC，∴DG＝BG，由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，∴∠FCH＝60°，∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴ ＝ ，∵DG＝BG，CD＝CF，∴ ＝ ＝ ＝ ．（3）如图

3，过点

D

作

DN⊥BC

于点

N，∴AC∥DN，∴∠ACD＝∠CDN，∵△ACD

是等边三角形，AC＝2，∴FC＝CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝ ＝m，∴NG＝m，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2 ，∴BN＝CN＝ ，∴BG＝ ﹣m，∵∠ADC＝60°，∠CDG＝α，∴∠BDE＝120°﹣α，∴∠BEG＝∠EBG＝30°+ ，∴∠EBG＝ ，∴∠BGE＝150°﹣α，∵DM

平分∠CDE，∠CDE＝α，∴∠CDM＝∠EDM＝ ，∵CF∥DE，∴∠CFD＝∠EDM＝ ，∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝180°﹣α，∴∠FCG＝150°﹣α，∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，∴△BEG∽△FHC，∴ ＝ ＝ ．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含

30°的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质