求值域的十种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数」的值域。【解析】匕八\+i函数的值域为卩、—Q。【练习】1.求下列函数的值域：①丫一一“I臼：I<書二一I； ②”门…二丨―；工;③'戈+1； ⑴界LiI）'-»“一I』丄工。【参考答案】①if儿②匕—◎；③宀】；①；-「川。二.配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如u，厂⑴-八小—「的函数的值域问题，均可使用配方法。例2.求函数「 （工三1川）的值域。【解析】L；_施_：.[:打亠和。•••一1兰工兰1，.・.？土丄 2二I， '丿小,.•. 3、： 〔t“ +「：讦，.•.8匸\。...函数\ （川三|—]川）的值域为|-3,b|o例3.求函数' 2--<-a：-■I.jaz|i\l|；的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：几门 「-m.w配方得：八w丁「+山八|让山利用二次函数的相关知识得/⑴“0：可，从而得出:诃32。说明：在求解值域（最值）时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：. 。

例4.若龙尊-丄芒-〔I」--试求置工-I叮的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点 在直线-v 上滑动时函数的最大值。利用两点 ， 确定一条直线，作出图象易得:JCe(0,4)：ye(0,2),而虹+1gy-也号=lg［.v(4j2叨］-也『亠2(严1尸+2］，y=1时，归小"取最大值屯二【练习】③1--V 4③1--V 4；-l.rrp\l；①1 ’I..I；②T-4viI..+2r+4④I'- -IT厂|，讨；1 、【参考答案】①〔「*；②7川；③7H；④—树； ；⑺三.反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。_2.v例5.求函数'工+1的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出「从而便于求出反函数。_2.r 工二丁'荷反解得 ，故函数的值域为-八。【练习】

适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。1-A：F—-—-例适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。1-A：F—-—-例6:求函数 的值域。t-1(2x+5)+-fv_i__2 L2r— —解：•' »、：一、 It十，2x-i-57―-—丰0•.・丄1-x r. 1.y— {y\y^——]的值域为」 =。适用类型2:（炳常数）的形式。分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为例7:求函数-II的值域。X-X_X-x^\-/X-X_X-x^\-/-x+1 z2-?r+l2' 4。不妨令：心川从而心一S注意：在本题中若出现应排除“对°,因为川紆作为分母.所以1_X2■-艾卜1_]+ 1另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出/的值域,进而可得到F的值域。练习】2兀-+2x+31.求函数' ■■'IV-I的值域【参考答案】1.'1五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8:求函数丁-丄Ivl-h的值域。_1 _3 , _5•••当Z_2，即"一N时，」山一4,无最小值。.••函数丁-丄I小h的值域为。例9:求函数+"的值域。解：因I1_訂匕即I。故可令jt-I1=cosP，P^［S京］,y-cospi1\Jl一cos?p=sin+cosp+I=V2sin（p+；）4-1—<//+-<-^- <sir（/y+—）<i•，二0<v'2sin（0卡彳）+1G+<5故所求函数的值域为l0J+'；2L_X3--JL例10.求函数"十I的值域。_亠］：2兀」_十解：原函数可变形为：. -—二1-■

2x可令x二仙B,则有厂二y二一”f；in2声xc(is2/i=-^-sin4#当"丄"寸,而此时⑷用有意义。1故所求函数的值域为..4X色例11.求函数；E门.…lllzul},解.;■-Sin/I,n<-(.*s.rII}-sinxcosx+sinx*cosx+11.、” sinxcosx-—(r—I)令、iii.：丨i；l宀,贝y-sinx+cosj;-v2sinfx+—)由7U7T12"2，.当r，.当r=仁时,显+运¥丄卫2，当2时，■ 4 2故所求函数的值域为］4厂2 一。例12.求函数'■-vI4-■<':>F的值域。解：由5-丁仝0,可得丨丫v故可令”y-V5cos^+4+V5sinp二710sin(j8+—)+4斗...Cl:#<汗•••9+34 4 4当时，「：「、 1-<||］当”"时，.「： ■■!肿故所求函数的值域为：卜.,4d〔.)|六、判别式法：把函数转化成关于y的二次方程卜｛—“仆；通过方程有实数根,a声+命+匚1F= 1判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 ("1、％不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解。x"—x+3¥=—— 例13:求函数 的值域。_x2-xi-3解：由'r“十丨变形得汁Im当y|时，此方程无解；当THI时，•.•工三X，•••A［〕’巧珀」1】「.卅、」，」 11 I 111>"V、— 1 1<VZS—解得 ，又F工1,••••••函数 的值域为1111七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14:求函数，丄…ik的值域。解：当丁增大时，丨-匕•随x的增大而减少，7'】-"随丁的增大而增大， 1函数y-,ryI-2.Y在定义域 上是增函数。-[La1Ip<——JI—2x—=—・•・——「：-2，...函数、J的值域为，'2o例15.求函数丿-叮1小j的值域。2解：原函数可化为：?-八+丨「、丨令t-Z 1，显然和宀在卩•腐上为无上界的增函数所以v-.1'-二在丨1・换上也为无上界的增函数-j==V2所以当x=1时，一匸有最小值七，原函数有最大值显然厂弋，故原函数的值域为⑴八"习适用类型2:用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）j?=logl（4x-j：2）例16:求函数- 的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用」」等。COSXy— 例17:求函数 的值域。解：由原函数式可得：宀1"wZ,可化为：J/+1sinjc(x+p)=3yainxfjr+/?)—t§J即•.•工tR...+/A'i.|-1.11-1<-即打一'故函数的值域为LCOST cosX-0注：该题还可以使用数形结合法。"汕】•；.；汕:丄.1，利用直线的斜率解题。例18例18:求函数V1-211-V1-V>0•.•2、>0，.•.IIf，.•.I<v<I1-21y— „ .•••函数 '的值域为"(j川。

九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。\/8-3\/8-3o5 "x解：•••I|.V：；的图像如图所示,由图像知：函数的值域为用,我）例20.求函数的值域。B P AL■8解：原函数可化简得：' 一E上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,厲-引间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，■■-v丄書训-⑺们-丨〔〕当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，飞卜|.肯|山故所求函数的值域为：卩几―切例21.求函数「「一「心：I，I二丁4.v＞的值域。解：原函数可变形为：V 掰+(0—2)丄+^^7+2)2+(0+1)3上式可看成x轴上的点"工小到两定点！「一 -\山的距离之和，由图可知当点p为线段与x轴的交点时，5川' 厂・门,故所求函数的值域为入期例22.求函数 的值域。解：将函数变形为：1 /i.r-3）--i/'l- ■■■■ -（Ci-V上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点M】小到点円2"的距离之差。即：'-右'卅I由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P',则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有||/^|-|^FH<I佃\=・圧2）丄+（2「7二<26即：—H.,r■■-\-?6（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有丨:'；J-WV小综上所述，可知函数的值域为：（二0'皿月(3,2)月(3,2)…sinxp—- 分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式“，将原函数视为定点（2，3）到动点w狀门的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：6+6+2V3~T点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例24.求函数八的值域。分析与解答：令打门-二，一-V，贝「'—□，/ -\ +vv原问题转化为：当直线 与圆厂-'丄在直角坐标系皿川的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当m」'经过点⑴八⑵时，■'「一"；当直线与圆相切时，「⑷4丿「“丨\所以：值域为曲二「■■--

十：不等式法：利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。v二(sinth———)'-i-(c()sx4——!—)2—4例25.求函数 的值域。解：原函数变形为：y=(sin2x+cos2x)+——；——I sin"xcos"j:=1ices2x■+sec2r—3+tan2jc+cot2j:>3F2Vian7xcot7x当且仅当i；小*一匚川X~k^±—即当 时心"，等号成立故原函数的值域为：匕宀曲｝例26.求函数卜hmm宀的值域。解：1解：14sinjrsinxcosx=4sin2xcosxy=16sit?xcos?x—Ssm"jrsin2x(2-2sin2x)<S[(sin2x+sin2x+2-2sin2a)/I]364_27• 2 匸™ a sin'x-—当且仅当、⑴节-1-^：n.v，即当 时，等号成立。可得:（1）当宀。时,0<y<—■■a，当且仅当t=1,即-V--I时取等号，所以（1）当宀。时,0<y<—■■a，当且仅当t=1,即-V--I时取等号，所以2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为:注：先换元，后用不等式法1+x-2x2+X1+x4V= 例28.求函数 I…工的值域。解:1 2x"+jc"x+ -+ 1+2兀一+工"1+2工亠+xx-Ian—令 ，则1-x21+x?y—cos2/¥+—sin