复习参考题6（计数原理）

复习参考题6复习巩固1.乘积展开后，共有________项；【答案】【解析】【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则可得，要得到式子的结果，需要在每个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得结果.【详解】根据多项式的乘法法则，展开后每一项都必须是在两式中任取一项后相乘，得到的式子，而在中有种取法，在中有种取法，由乘法原理，可得共有：种情况.故原式展开后有项，故答案为：2.学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________；【答案】525【解析】【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】从7门选修课中任意选择3门有种选法;从6种课外活动小组中选择2种有种选法.所以不同的选法种数为故答案为：525.3.安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________；【答案】480【解析】【分析】先排特殊，再排一般.【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为中方法.所以不同排法的种数为种.故答案为：4804.5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________；【答案】5.【解析】【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，最后计算组合数计算即可.【详解】因为5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，又因为无座票，所以没有顺序，所以共有种不同的分法.故答案为：5.5.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；【答案】243【解析】【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，所以5名同学共有种选择方法.故答案为：.6.正十二边形的对角线的条数是________；【答案】54【解析】【分析】由任意两点连线的条数，再排除边数可得.【详解】任意两点连线的条数，再排除边数，故正十二边形的对角线的条数是.故答案为：54.7.的展开式中，系数最大的项是第________项．【答案】【解析】【分析】在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再利用二项式的性质可得答案【详解】解：因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大，所以第项的系数最大，故答案为：8.一个集合有5个元素．（1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？（2）这个集合的子集共有多少个？【答案】（1）10，（2）32【解析】【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解【详解】解：（1）这个集合的含有3个元素的子集有个；（2）这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有个，9.已知，那么________；【答案】【解析】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）故答案为：10.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________；【答案】【解析】【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种再排其余4节，有种，根据乘法原理，共有种方法，故答案为：．11.某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是________；【答案】【解析】【分析】首先确定2个英文字母的排列方法，接着确定4个数字的排列方法，最后根据分步乘法原理计算结果即可.【详解】首先确定2个英文字母，因为2个英文字母不相同，所以有种排列方法，接着确定4个数字的排列方法，因为可以数字可以相同，所以有，根据分步乘法计数原理得：该密码可能的个数为：.故答案为：650000012.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；【答案】58【解析】【分析】从8个顶点中选4个，排除6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况.【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果，其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是.故答案为：58.13.在的展开式中，各项系数的和是________．【答案】【解析】【分析】根据赋值法，令即得结果.【详解】令，则，即二项式的展开式中各项系数的和是.故答案为：.14.（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？（2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意可知：1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，条交点，从而可得到规律，进而可得答案；（2）类比（1）中的方法得出答案【详解】解：（1）因为1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，个交点，4条直线，个交点，5条直线，条交点，……所以条直线有个交点，即个交点；（2）因为1个平面，0条交线，2个平面，1条交线，3个平面，条交线，4个平面，条交线，5个平面，条交线，……所以个平面有条交线，即条交线；综合运用15.（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；（2）求的展开式的常数项；（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；（4）求的展开式中的系数；（5）求的展开式中的系数．【答案】（1）；（2）；（3）或23；（4）135；（5）30.【解析】【分析】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项．（2）求出其通项公式，令的指数为0即可求解．（3）利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程解得．（4）先将多项式展开，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出系数即可．（5），两次利用通项公式求解即可.【详解】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项，．（2）展开式的通项公式为：；令可得：；故展开式的常数项为：．（3）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，；化简得，即：，解得或23．（4），展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数，展开式的通项为，令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，，故展开式中含的系数为：，（5）设其展开式的通项公式为，令，得的的通项公式为，再，得，的展开式中，的系数为．即的展开式中，的系数为30．16.用二项式定理证明能被8整除．（提示：．）【答案】见解析【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，化简后，根据展开式的各式都含有因数8可得它能被8整除.【详解】证明：能被8整除.所以能被8整除.17.（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）首先分析平行四边形是由两组平行对边构成的，接着结合分步计数原理求解即可；（2）首先分析平行六面体是由3组平行对面构成的，接着结合分步计数原理求解即可；【详解】（1）由题意可知：平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，要构成平行四边形，需要有两组对边分别平行，故从第一组m条平行线中任选2条，作为平行四边形的一组对边，共有种不同的取法，再从第二组n条条平行线中任选2条，作为平行四边形的另一组对边，共有种不同的取法，则可以构成个平行四边形.（2）由题意可知：空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行，故从第一组m个平行平面中任选2个，作为平行六面体的一组对面，共有种不同的取法，再从第二组n个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第二组对面，共有种不同的取法，再从第三组l个平行平面中任选2个，作为平行六面体的第三组对面，共有种不同的取法，则可以构成个平行六面体.18.某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72【解析】【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，拓广探索19.在的展开式中，含项的系数是多少？【答案】【解析】【分析】求出展开式中含的系数为,再利用二项式系数的性质求和即可.【详解】因为展开式的第为.所以中含项的系数是、中含项的系数是,…,中含项的系数是.所以的展开式中