大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理第一节大数定律第二节中心极限定理切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,或由切比雪夫不等式可以看出：若越小，则事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v

X与它的期望的偏差小于的概率的估计式.例：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.

例：在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n

次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n

=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)

=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改写为在切比雪夫不等式中取n，则

=P{|X-E(X)|<0.01n}在切比雪夫不等式中取n，则

=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依题意，取解得依题意，取

即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.第一节大数定律依概率收敛的序列有如下性质：

依概率收敛序列的性质:证明[证毕]一、问题的引入实例

频率的稳定性随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性.单击图形播放/暂停ESC键退出二、基本定理定理一（契比雪夫定理的特殊情况）定理一（契比雪夫定理的特殊情况）表达式的意义二、基本定理证明由契比雪夫不等式可得并注意到概率不能大于1,则关于定理一的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.定理一的另一种叙述:证明引入随机变量伯努利定理二（伯努利大数定理）显然根据定理一有关于伯努利定理的说明:故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.关于辛钦定理的说明:(1)与定理一相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料定理三（辛钦定理）三、典型例题解独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？例1说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.解由辛钦定理知例2四、小结三个大数定理契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.第二节中心极限定理二、基本定理定理1：（独立同分布的中心极限定理）定理1表明:证明根据第四章第二节例题可知定理2：(德莫佛－拉普拉斯定理)根据定理四得定理2表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.三、典型例题解由定理四,随机变量Z近似服从正态分布N(0,1),例1其中一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,例2所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3保险公司亏本的概率对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解例4根据独立同分布的中心极限定理，由德莫佛－拉普拉斯定理知,证例5根据独立同分布的中心极限定理，四、小结三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理德莫佛－拉普拉斯定理中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.

第二节中心极限定理独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在30到40点之间的概率．

在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费．在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1