第五章频率特性复习课

以正弦量三要素（A、ω、f）中的幅值Aω)和相位f(w)组成的复数称为该正弦量的复振幅；R(jw)=A(w)ejf(w C(jw)G(jw)=R(jw)基于频率特性和频率响应对系统进行分析的方法量与输入量的复振幅之比。一般用G(jw)表G(jw)=C(jw)=wejfwR(jw)对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量G(jw)=A(w)ejf(w)=U(w)+jV(w)A(w)

V(w) 对数频率特性曲线——又叫Bode（伯德）图，简 在极坐标中，以频率w为参变量，表示频率特性jV

G(jw

频率特性G(jw)=[G(s)]sjwK

j0=K+ 0KA(w)0Ks

s=

=1=0-j1=1e- wA(w)= 由于f(w)=-90°是常数。A(w)随w

w=¥频率特性G(jw)=[G(s)]sjwjwwej9000A(w)=

w=¥ 0f(w)= =0微分环节的极坐标图是一条与虚

GjwjwT1+w2Tw fw=1+w2T当w从零变化到无穷时，幅相频率特性是通过(1,0点，且

wfi

：Gs=-T2w2-T2w22+4z2T2w

+1-+f(w)=arctan1-T2w2¥‹w=01¥‹w=01

1Ts频率特性：Gjω=

-

1+1+

1+ 1+

1+=

=-arctanwT V(w=1+

1+2 TG(j0)=1— Gj12 T

1—-

G(j¥)=0—-逐步衰减，最终趋于0。相位的绝对值越来越大，但0

1 1G(j0)=1—Gj1G(j0)=1—Gj1 T1—-2G(j¥)=0—- 2 2

s

G(G(s)= w2(s2n2ns

1wnw w n

ww1

n21-T2w2

2- -2zTw-2zTw-2-22zTwf(w)=arctan- 1-T2w2G(j0)=1— Gj1=1—-

G(j¥)=0—-T T01•wwwz1>z2z3-T2w22-T2w22+2zTw

1-

2w2极坐标相位从0°到-180°变化，频率特性与虚轴或者f(w)

3.14

w年月写出频率特性表达式，并由G(jω)求出其实频特性Re[G(jω)]、虚频特性Im[G(jω)]和幅频特性|G(jω|、相频特性∠G(jω)的表达式；求出若干特征点，如起点(ω=0)、终点(ω=+∞)、与4)补充必要的几点，根据|G(jω)|、∠G(jω)和Re[G(jω)]、Im[G(jω)]的变化趋势以及G(jω)所处的象三对数频率特性曲线：在半对数坐标中，表示频率特性的对数幅值20lgA(ω)与对数频率lgω，相角f(w)与对数频率lgω之间关系的曲线图G(jw)=G1(jw)G2(jw)…Gn(jw)= f(w)=f1(w)+f2(w)+…+L(w)=20=20lgA1(w)+20lgA2(w)+…+=年月5.3.2典型环节

= w=LwdB) KK00年月

=11

1

w=—

频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线并且在w=1这一点穿过0dB线。年月

00-90

s-20 -20 1a1bs微分环节（s）=20

fw=—jw=w线,并且在w=1

fw

20dB1

)) 11

+Lw=20=

=-10lg+T2w21+1+T2w2年月L(w)=-20 (Tw)2+1»-20lg1=年月 (Tw)2+1»-20 =-20lgT-20L(w)为因变量，lgw为自变量，因此对数频率特性曲线是一条斜线,斜率为-20dB/dec,称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为wT=1/T，wT称为转折频率，是绘制惯年月精确相频特性为warctanw内w程滞后持续增加的趋势，极限为-90。年月w=20 jTw+1=20 1+w2T2=10lg1+w2T2=arctan在Tw<<1(或w<<1/T)的区段,对数幅频特性可以近似 高频渐近线是一条斜线,斜率为20dB/dec,当频率变化10年月处wT对应的精确值是L（wT）=0+3=3dB。日月年日月

T2s

+2zTs+

Lw=201T2jw1T2jw2+j2zTw2wTTw<<1(或w<<1/T)时，L(w20lg1=0dB，低频渐近线年月Lw=-20 w2T22+wTL(w)»-20lg(Tw)2=-40lg(Tw)=-40lgT-40lgwdB 率wn。年月谐振峰值Mr增大，谐振频率wr也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率wn。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当z=0时，wr≈wn，Mr≈¥年月年月

f(w)=-arctan2zTw1-T2w f(w)→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及f(w)=-90°这一点斜对称。相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围0º→-180º；曲线形状的影f(w)=-180Tw=-=w=

f(w)=-57.3T10lgw(年月w年月 (jwt

+2jwz

G(jw)

·

k=122 22

(jwTj

+2jwzlTl j

lGk(jw)

(jw)A(w)=G(w)=年月

ww

Gk(w

=K f)=nw1.0型系统，v=0：A(0，f(0)=-，f(0)= 年月

G(jw)=

»

=

wfi

(jTw

wfi

(jTw

wfi

(T j j jG(jw)=

»

=0—-(n- wfi¥(jw)n-

wfi¥(j)n-m K'= 年月

j

(TjG(jw)=

»

=0—-(n- wfi¥(jw)n-

wfi¥(j)n-故A(¥)=0,高频段终止于坐标原点；而最终相位为f(¥)=-(n-m)·90由n-m确定特性以什么角度进wfi¥)w)=wfi年月,②(n-m)=2则f(¥)=-180即幅相特性沿负实轴进入坐标原③(n-m)=3则f(¥)=-270即幅相特性沿正虚轴进入坐标原年月求出交点处的w，再代回频率特性表达式求出交点的求出交点处的w，再代回频率特性表达式求出交点的如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在w由0增大到¥过程中,特性的相位单调连续减小（滞后连续增加）,特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向如果系统的开环传递函数有开环零点，则在w由0增大到¥过程中,特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同,特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时,特年月根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环在０＜w＜¥的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观年月 (jwt

+2jwz

G(jw)

·

k

(jwT (-T2w2+2jwzT j l年月不必将各个典型环节的L(ω)绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L(ω)曲线,Ф(ω)由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以L(w)的渐近线必为由不同斜率的线段年月 (jwt (-t2w2+2jwztG(jw)

·

k=1

(jwT

+2jwzTj

l=1kG（jω）Gk

(jw)

(jw)

G(w)= 年月L(w)=20lgwn=20lgK-20nlg年月低频段只与积分环节的个数v及开环传递系K有使L(w)的斜率发生相应的变化。在惯性环节G(s)

Ts

在振荡环节G(s)

年月 (jwt

Gk(jw)

·

(jwT

+2jwzT

G(jw)= Kwfi¥(jw)n-w=-（n-

A(w)=KmKmKK'= (TjjA(w)

K

w-（n-L(w)=20

(n-m)lg 年月 w =1,20lgK)点,L(w)=20lgK+20lgwwnn=0fi0dB/斜率由积分环节的个数决定n=1fi-20dB/位系统；反之，即为非最小相位系统。

limG(jw) wfi

( 贝线交点处的频率为w=vk,由此可确定K和 ω取-∞~+∞时，G(jω)H(jω)图形称为完ω取0~+∞时，G(jω)H(jω)和jω)H(-jω) 由0-到0+沿无穷大半径沿顺时针转过vπ的圆弧. 设增补后的奈氏曲线逆时针围绕(-1,j0极点数)零点数) w由0变到+¥时的开环幅相频率特性G(jw)顺时针包围(-1,j0)点的圈数为N，已知系统开环右极点数PZ（不包括虚轴上的¥，逆时针方向旋转v90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的w由0变到+¥时开环频率特性曲N=（N+-N--若ZP2(N+-N--w(2k+1)pk0,12, L(w0N=N+-

Z=P-2N=0R=2N其中Gf表示半对数坐标下 穿越：在L(w)>0dB的频率-180°；在L(w)<0dB的频率正穿越N+：产生正的相位负穿越N-：产生负的相位移,这时,相频特性应由上部向下穿越-180°线。判据， 图上使 稳定判据时，就是在>0dB的频率范围内，根据相频曲线穿越-180º的相位线的L(w)>0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线对-180º的相位线的正、负穿越次数为N+与N-，闭环右极点个数为Z=P-2(N+-N-)年月对于型别v≥1（v为系统开环传递函数在原点处的极点数）的系统，应将Bode图对数相频特性在年月b01sgaa点：|A(wcc0)cc当当g当g0

xxh=

gahh=-20logG(jwx)H(jwx 以分贝表示时，如果h>

h(dB)>如果h<1，则h(dB)<0增 为负值 -1-1wx =¥01s>0wcawfi

-

w=¥g>0

wfi

wxa

g<0

h

不稳定系统h j-1j-1wxb=¥01g>0wcawfi>0

w=¥0wfi仅用相角裕量或幅值裕量都不能较全面地描述系的，系统的相对稳定性也很差。通常相角裕量取wc h wxwgg应当在30与 应当大于6分⻉（应当大于6分⻉（h>2）1、控制系统的性能指标tpN幅值穿越（剪切）频率wc

g,幅 2 系0g00

zMrMr31-21-22

M2(0£ζ£112ζ12ζ1-

(0£ζ£

0.4

0.6

0.8 1.02）ts与wb(2-2)2+(2ζωω(2-2)2+(2ζωωnb 222-42+4解出wb与wn、z

=

=

1-222-41-222-42+4ζ

(sg

ts,wc,r,wb

t =t

M=

11-ζ =

- ζ

·100% 2w 2w4z2+14z2+1-

4z2+1- 4z2+1-Gk(s)

k(1+s2(0.5s+1)(sv2，零点—

Gk(j0+)=¥—-180

Gk(j¥)=0—-2702222Gk(jw)

w2(1+

2+

2(1+

)-jw(0.5-w：：,Gjw

K+1

n i=1Tis—Gj¥—2Gjw

1jw+2Gj0＝K—Gj¥＝¥—2

图5－20若m1n3

mKmKi= nisw

+11jw+2w3Gj0＝K—Gj¥＝0— 2 2Gj0＝K—Gj¥＝0—m-

图5－21 2

n1Gs

KsTs+

n

jwTjw+w0Gj0＝¥2w¥Gj¥022n2,Gs

s2Ts+ jw2Tw0Gj0＝¥22w¥Gj¥032

图5－22含有积分环节时7.5(1sG(s)= s(1s+1)(1s2+s 例

分荡

22(阶微分转折频率性L(w)

rad/sw

-

-

-

rad/比例比例环节和积分环节在整个频率段上起作惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节在转角频率之前的渐近线为0dB，G(s)H(s) G(s)H(s)

300(s+s(s+0.5)(s+ 40(0.5s s(2s+1)(1sw∞G(s)H(s)=

s(2s

0

wG(s)H(s)

40(0.5s+s(2s+1)(1s+30w125

0

rad/103例4某最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试k s+1s+1s+1s 其中,K,ω1,ω2,ω3,ω4待定L(ωA)-L(ωB)=k[lgωA-lgωB]31.62 +1

+1

+1

例5:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环例9

G(s)

K

相位交界频率wxf(wx)=G(jwx)H(jwx)=-f(wx)=-90-arctg0.2wx-arctg0.05wx=-即arctg0.2wx