专题一集合常用逻辑用语函数与导数4讲第三

专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数第三讲 函数与方程及函数的实际应用第一部分 知识复习专题函数零点的确定与应用问题一、函数的零点与方程的根1．函数的零点．定义：对于函数y＝f(x)，方程

f(x)＝0

的实根叫做函数的零点，函数的零点是一个

实数而不是一个点．性质：对于任意函数，只要它的图象是连续不断的，其函数的零点具有下列性质：①当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．2．函数的零点与方程的根的关系．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象实根交点的横坐标．3．函数有零点的判定．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)·f(b)＜0

，那么函数y＝f(x)在区间

(a，b)

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

f(c)＝0

，这个c也就是方程f(x)＝0的根．用二分法求函数零点的近似值问题对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点

逐步逼近零点

，进而得到零点的

近似值

的方法，叫做二分法．2．用二分法求函数零点的近似值的步骤．(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；求

区间(a，b)的中点

x1；计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点，②若f(a)·f(x1)＜0

，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))，③若

f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．判断是否达到其精确度ε，即|a－b|＜ε，则得零点近似值a(或b)，否则重复以上步骤．函数的实际应用问题三、三种增长型函数模型的关系1．三种增长型函数模型的性质.函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性

增函数

增函数

增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与

y轴平行随x增大逐渐表现为与

x轴

平行随n值变化而不同2.三种增长型函数模型的增长速度比较．y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，

有

ax＞xn＞logax

．四、建立函数模型解函数应用题的过程1．(2012年浏阳月测)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是

(

)B．y＝2x－1D．y＝－x3A．y＝log

1

x2C．y＝x2－

12解析：由所求函数在(－1,1)内是增函数，故排除C，D，又因为y＝log

1

x中的真数x＞0，故A错误，故选B.2答案：B2．函数y＝ln

x＋2x－6的零点，必定位于如下哪一个区间()A．(1,2)C．(3,4)B．(2,3)D．(4,5)3.(2013年四川卷)设函数f（x）=

a∈R，e为自然对数的底数）.若存在b∈［0，1］使f（f（b））=b成立，则a（

A

）的取值范围是A.［1，e］C.［e,1+e］B.［1,1+e］D.［0,1］Bex

+

x

-（a4．(2012年湖南联考)某工厂从2001年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y与时间t的函数图象可能是

()A突破点1

函数零点的确定与应用问题则x0所在的区间是(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)设函数y＝x3与y＝1

x－2的图象的交点为(x0，y0)，22的零点x0存在区间的判断．思路点拨：本题可以在同一坐标系中分别画出y＝x3与y＝1x－2的图象进行观察，亦可以转化为函数f(x)＝x3－1x－22解析：解法一：在同一坐标系中分别画出y＝x3

与y＝21x－2

的图象，如图所示，所以x0∈(1,2)．21解法二：令

f(x)＝x3－

x－2，1则

f(0)＝0－

－2＝－4＜0，2

221

1f(1)＝1－

－1＝－1＜0，

f(2)＝23－

0＝7＞0，22

21

1

1

3f(3)＝27－

1＝26

＞0，

f(4)＝43－

2＝634＞0.∴f(1)·f(2)＜0，故x0

所在区间是(1,2)．答案：B误区警示：解法一中若图象作的不准确，易出错．规律方法：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的

有：①函数零点值或大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问

题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多用数形结合

法求解．(2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．跟踪训练2g(x)＝log

x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是A．4个

B．3个

C．2个(

)D．1个4x－4，x≤1，1．(1)设函数f(x)＝2x

－4x＋3，x＞1，)A．0个

B．1个1

1

x(2)(2012年北京卷)函数f(x)＝x

2

-

的零点个数为(

2

C．2个

D．3个解析：(1)解法一：∵h(x)＝f(x)－g(x)，∴当0＜x≤1

时，h(x)＝4x－4－log2x，显然当x＝1

时，h(x)＝0，∴x＝1

是h(x)的一个零点．2222而当x＝1时，h1＝2－4－log

1＝－1＜0，16当x＝

1

时，

1h

16＝4×

1

16－4－log21

116

414＝

－4＋4＝

＞0，

1

1

∴

h2·h16＜0.∴h(x)在

1

，1

上必有一个零点．16

2当x＞1时，h(x)＝x2－4x＋3－log2x，∴x＝2时，h(2)＝4－8＋3－log22＝－2＜0，x＝4时，h(4)＝16－16＋3－log24＝3－2＝1＞0，∴h(2)·h(4)＜0.故h(x)在(2,4)上还有一个零点．综上所述，h(x)共有3个零点，故选B.解法二：令f(x)－g(x)＝0，即f(x)＝g(x)，可知y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的个数为h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数．在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，易知选B.1

1

x

2

(2)f(x)＝

x

2

-

的零点，即令f(x)＝0，根据此题

1

x

2

1

1可得x

2

＝

，在平面直角坐标系中分别画出幂函数x

2

2

x和指数函数

1

的图象，可得交点只有一个，所以零点

只有一个，故选B.答案：(1)B

(2)B突破点2

用二分法求函数零点的近似值问题借助计算器或计算机用二分法求方程ln

x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．思路点拨：本题可以利用二分法求函数零点的步骤，然后确定函数的零点．解析：令f(x)＝ln

x＋x－3，即求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．∵f(2)＝ln

2－1＜0，f(3)＝ln

3＞0.∴f(x)在(2,3)上存在零点．∴可取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.187

5≈2.2,2.218

75≈2.2，∴所求方程的根为2.2(精确到0.1)．中点端点或中点函数值取区间|an－bn|f(2)＜0，f(3)＞0(2,3)12.5f(2.5)＞0(2,2.5)0.52.25f(2.25)＞0(2,2.25)0.252.125f(2.125)＜0(2.125,2.25)0.1252.187

5f(2.187

5)＜0(2.187

5,2.25)0.062

52.218

75f(2.218

75)＞0(2.187

5,2.218

75)0.031

25规律方法：(1)二分法是求不熟悉方程近似解的重要方法，其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在范围的极限思想．在求解中，初始区间的选取可以不同，但不影响求解结果，不过尽量使初始区间的长度小一些，另外要注意随时根据题目给出的精确度要求进行检验，看所得到的区间是否符合精确度要求，若满足，则停止计算，便得到近似解．(2)“精确度”与“精确到”的不同：“精确度”是“二分法”中的特有概念，它是指最终确定的区间长度应小于的一个长度值，而“精确到”是数学计算中进位制的一种要求：如在“二分法”中的精确度为0.01时，表示要求所求区间(a，b)的长度|b－a|＜0.01，而精确到0.01，则表示要求所求区间(a，b)的端点a，b进位到百分位后为同一个数．跟踪训练2．(1)若将例2中精确到0.1改为精确度为0.1，那又如何求解呢？(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经把根锁定在区间(1,2)内，则进一步可断定该根所在的区间为

．解析：(1)由例2解析中的表知|2.25－2.187

5|＝0.062

5＜0.1，∴函数在(2,3)上的零点是2.187

5.2(2)在(1,2)内取中点x0＝3，令f(x)＝x3－2x－1.

3∵f

272＝

8

－4＜0，f(2)＝8－4－1＞0，f(1)＝－2＜0，根据零点存在定理，f(x)的零点在3

2内，2，

33，

∴方程x

－2x－1＝0的根可进一步判定在2

2内．答案：(1)2.187

53

(2)2，2突破点3

函数的实际应用问题(2011年福建卷)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．求a的值；若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．满足关系式y＝

＋1a0(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知x－3思路点拨：首先认真审题，将文字语言抽象转化为建立函数模型．由x＝5，y＝11，求得a的值．构建利润函数关系，利用相关知识可求得．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，a所以2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为x－3y＝

2

＋10(x－6)2.所以商场每日销售商品所获得的利润＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)＝(x－

3)x－3

2

＋10(x－6)2x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．规律方法：(1)解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识：函数、导数、不等式解决数学问题，再回归到实际问题的解决上.(2)找函数关系是关键，一定要准确理解题目意思弄清题设条件，最终将之化为函数问题解决.跟踪训练描述学习某学0.1＋15ln

a

a－x，x≤6，3．有时可用函数f(x)＝x－4.4

x－4

，x＞6科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为

(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(1)证明：当

x≥7

时，f(x＋1)－