列方程解决平面图形问题

列方程解平面图形问题一、引入。同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗？已知图1中平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形面积是多少平方厘米？1．学生尝试解答。学生可能出现如下两种解法：①根据平行四边形的面积是48平方厘米、高是6厘米，可以求出平行四边形的底；三角形的高和平行四边形相同，底比平行四边形少5厘米，所以求出平行四边形的底，就能求三角形的面积。48÷6=8（厘米）（8-5）×6÷2=9（平方厘米）②这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图2），因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于（48-5×6）÷2=9（平方厘米）2．引导学生用代数方法解决问题。第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积；第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。解决这个问题还可以用代数方法，设三角形的底为a，根据平行四边形面积为48，高为6，可列出方程：（5+a）×6=48解方程，求得a=3所以三角形面积为3×6÷2=9（平方厘米）这是一道比较简单的问题，用上述三种方法都能解决。如果是比较复杂的问题，用算术方法解决会非常困难，而代数方法会越来越有优势。这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。例1：长方形ABFE的宽是8厘米，如果长增加4.5厘米，得到新图形ABCD的面积是168平方厘米。如下图，求原长方形的面积。由于新图形的宽与原长方形相同，学生会逆向思考，求出新长方形的长，用算术方法解决问题。168÷8=21（厘米）（21-4.5）×8=132（平方厘米）根据题意，新长方形的长比原长方形的长多4.5厘米，我们可以利用这一关系设未知数，利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。解：设原长方形的长为x厘米，根据题意列方程得：（x＋4.5）×8=168x＋4.5=21x=16.516.5×8=132（平方厘米）答：原长方形的面积为132平方厘米。由于长方形的长是未知的，用算术方法解决问题需要逆向思考，根据面积求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列出方程。在解决复杂问题时，用代数的方法，正向思考会更简单。例2：在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形（如图），求小长方形的宽。题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽，我们必须认真观察图形，找到数量之间的关系。请同学们认真观察图形，你发现小长方形的长、宽，大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系？通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2个小长方形的宽+6厘米如果设小长方形的宽为x厘米，根据上面的关系式你能找到相等的关系吗？由小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米可以表示出小长方形长为14－3x厘米，再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，可以表示出大长方形的宽为14－3x＋x=14－2x厘米；根据2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽，大长方形的宽还可以表示为2x＋6厘米。利用宽相等可以列出方程。解：设小长方形的宽为x厘米，根据题意列方程为：14－2x=2x＋64x=8x=2答：小长方形的宽为2厘米。题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析出大长方形的宽可以用14－2x和2x＋6两种方式表示，根据这一等量关系列方程解答。例3：如图，将一个三角形纸片折叠一下（如下图），原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的1.5倍。如果阴影部分的面积是1平方厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？折叠后图形中出现了重叠部分（四边形DEFG），所以图形的面积变小了。观察图形，你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗？长方形的周长为18厘米，短边长为4厘米，求大长方形面积是多少平方厘米？3．下图中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，AD=5厘米，BC=7厘米，求三角形ABD的面积是多少平方厘米？4．如图，直角三角形ABC内有一个正方形BDEF。已知AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米，EG垂直于AC，且EG=0.3厘米，求正方形BDEF的面积。5．六张大、小不同的正方形纸片A、B、C、D、E、F，拼成如右图所示的图形。已知正方形F（阴影部分）面积是256平方厘米，正方形A的面积是多少平方厘米？6．如下图，正方形ABCD的面积是1，BF=AB，EC=BC。求阴影部分的面积。AABCDFEO四、趣味驿站。完美长方形一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。已知正方形A和B的边长分别是7和4，你能算出这个完美长方形的面积吗？观察图形可以知道，完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系，若能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，或表示出完美长方形的长或宽，即可顺利列方程求解。为了叙述方便,我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下图)。设最小的正方形边长为X，因为小正方形A的边长为7，小正方形B的边长为4，所以小正方形C的边长可以表示为7＋X小正方形D的边长可以表示为7＋X＋X=7＋2X小正方形E的边长可以表示为7－X＋4=11－X小正方形F的边长可以表示为11－X＋4=15－X小正方形G的边长可以表示为15－X＋4=19－X小正方形H的边长可以表示为7＋X＋7=14＋X观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：（7＋2X）＋（7＋X）＋（14＋X）=（15－X）＋（19－X）解