角的平分线的性质课件人教版八年级数学上册

角的平分线的性质（第二课时）回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．书写：∵∠AOP=∠BOP

（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE．分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．点P在BM上，“全等待条件”“双垂待角分”∴∠PDF＝∠PEH.∵BM是△ABC的角平分线，于点F．求证：DE=DF．∴PD=PE．∴PD=PE=PF．即点P到三由角的平分线的性质得DE=DF．例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，1．已知可推？“角分无垂直”，2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，CA，垂足分别为D，E，F．即AD是∠BAC的平分线．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．∴PF=PG=PH．分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴EB=FC．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角的平分线的性质）．识别定理及对应基本图例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．复原基本图练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”

同理PE=PF．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．1．已知可推？“角分无垂直”，1．已知可推？“角分双垂推相等”CA，垂足分别为F，G，H．是M、N．求证：PM=PN．∵BM是△ABC的角平分线，1．已知可推？“角分无垂直”，CA，垂足分别为D，E，F．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．∴∠PDA=∠PEO．由角的平分线的性质得DE=DF．连接AD，证明△ABD≌△ACD例如图，△ABC中，∠C=90°，试在AC上找2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，∴PD=PE．于点F．求证：DE=DF．练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”想“作双垂”两组证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，

G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，

∴PF=PG．同理PG=PH．∴PF=PG=PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．类比的想法例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”考虑连接AD例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”2．求证何来？“角分双垂推相等”更好“全等推相等”考虑连接AD例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．整理思路：连接AD，证明△ABD≌

△ACD由全等证角等“角分双垂推相等”证明：连接AD．

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌

△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．复原基本图作公共部分交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，，并证明你的结论．，并证明你的结论．连接AD，证明△ABD≌△ACD由角的平分线的性质得DE=DF．一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，，并证明你的结论．于点F．求证：DE=DF．交AC于点P．则点P为所求．，并证明你的结论．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，例如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．∵BD为∠ABC外角的平分线，∵BM是△ABC的角平分线，练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．

练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．∠PEO分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．2．猜测∠PDA=∠PEO；求证何来？构造的全等．解：∠PDA=∠PEO．理由如下：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．在Rt△PDF与Rt△PEH中，

∴Rt△PDF≌Rt△PEH

（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA=∠PEO．已知可推？“角分无双垂”∴PF=PG=PH．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，∴PD=PE=PF．即点P到三2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，“全等待条件”“双垂待角分”交AC于点P．则点P为所求．于点F．求证：DE=DF．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．∵BD为∠ABC外角的平分线，，并证明你的结论．1．熟悉定理及其对应的基本图；CA，垂足分别为D，E，F．是M、N．求证：PM=PN．同理PG=PH．CA，垂足分别为D，E，F．1．已知可推？“角分无垂直”，∴∠PDA=∠PEO．于点F．求证：DE=DF．小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时：1．熟悉定理及其对应的基本图；2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是:补全基本图；如:过角平分线上的点向角两边作垂线；3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．1