2021年福建省莆田市第十中学高三数学文月考试卷含解析

2021年福建省莆田市第十中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有(

) A．10个 B．11个 C．12个 D．13个参考答案：D考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；压轴题．分析：本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么，然后严格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可．当然，如果按照“孤立元”出现的情况逐一排查亦可．解答： 解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选D．点评：本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．2.若是非零向量且满足，

，则与的夹角是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.函数y=（

）(A)在(-,+)上单调递增。

(B)在上是减函数，在上是增函数。(C)在上是增函数，在上是减函数。(D)在上是减函数，在上是增函数。参考答案：B4.已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A． B． C．2 D．2参考答案：C【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选C．5.复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案．【解答】解：由Z==，得复数Z=所对应复平面内的点的坐标为（），在第三象限．故选：C．6.如下图，是把二进制数化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知圆，直线，则与的位置关系是

A．一定相离

B．.一定相切

C．相交且一定不过圆心

D．相交且可能过圆心[参考答案：【知识点】直线与与圆的位置关系H4C解析：因为直线恒过点，且该点在圆的内部，所以直线与圆相交，又因为圆的圆心坐标为，直线的斜率存在所以直线不能过圆心，故选择C.【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部，可得直线与圆相交，又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不存在的直线上，而直线斜率存在，所以不过圆心.8.已知等比数列满足且，则=（

）A.153

B.100

C.81

D.64参考答案：A略9.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=

A．{x|-2<x<0}

B．{x|2<x<3}

C．{x|2≤x<3}

D．{x|x≤-2或2≤x<3}参考答案：C略10.对于向量（），把能够使得取到最小值的点称为（）的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点,延长至,使得，联结,分别交、于、两点.下列结论中，正确的是……（

）、的“平衡点”必为.

、、的“平衡点”为、的中点.、、、的“平衡点”存在且唯一.、、、的“平衡点”必为.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，Sn为其前n项和，a1=1，a2=2，an+2－an=1+(－1）n，则S20=

.参考答案：12012.已知函数为定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当时，恒有成立，则x的取值范围是

参考答案：

13.已知a，b∈[﹣1，1]，则不等式x2﹣2ax+b≥0在x∈R上恒成立的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由于涉及两个变量，故以面积为测度，计算概率．【解答】解：a，b∈[﹣1，1]，则区域面积为4，不等式x2﹣2ax+b≥0在x∈R上恒成立，则4a2﹣4b≤0，区域面积为2=，∴不等式x2﹣2ax+b≥0在x∈R上恒成立的概率为，故答案为．【点评】本题主要考查概率的建模和解模能力，本题涉及两个变量，故以面积为测度，再求比值．14.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是

。参考答案：15.复数为虚数单位）的虚部是 .参考答案：答案:116.设，则方向上的投影为

。参考答案：17.若函数是幂函数，且满足，则的值等于

▲

．参考答案：【知识点】幂函数B8【答案解析】

设f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，

解得：a=log23，∴f（）=()log23=．故答案为：．【思路点拨】先设f（x）=xa代入题设，求出a的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?淄博一模）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．参考答案：【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==【点评】：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19.(本题满分14分)在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．参考答案：略20.如图,椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得为定值？证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时,,,,综上,在轴上存在定点,使得为定值.（12分）21.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.参考答案：解：（1）的分布列为：01234所以。（2）由，得，即，又，所以当

时，由，得；当

时，由，得。，或，即为所求。【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。【易错提醒】记错期望和方差的公式，特别是方差的公式。【备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。22.如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．

参考答案：（Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．

………………1分点的横坐标满足方程，解得，舍去．

……………2分所以．……4分

由点在第一象限，得．所以关于的函数式为，．

………………5分（Ⅱ）解：由

及，得