期末模拟试题(一)-2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

测试内容:九年级上全册+九年级下1-2章注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·浙江九年级期末）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：抽取件数50300.6100801501200.82001400.75004450.898007200.91000合格频数合格频率9000.90.8估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（）A．1080套【答案】AB．960套C．840套D．720套【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．格校服的概率约为0.9，格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．考查频率估计概率、样本估计总体，根据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．2．（2022·四川巴中市·中考真题）两千多年前，古希腊数学【详解】解：根据表格数据可估计合∴估计出售1200套校服，其中合【点睛】本题家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如BPAP图，点P是线段AB上一点（＞），若满足，则称点P是的AB黄金分割点．黄金分APABAPBP割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉20米，主持人最好．若舞台长从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分则满足的方程是（）割点上，xA．（【答案】A【分析】点P是的AB20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对BPAP黄金分割点，PBPAPBx且＜，＝，则PA＝20−x，则，即可求解．APAB【详解】解：由题意知，点P是的AB黄金分割点，且＜，＝，则PA＝20−x，PBPAPBx∴BPAPAPAB，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．3.（2022·石家庄市九年级二模）现从四个数2，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数yaxbab中，的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（）112633【答案】A方法求解从四个数2，，，中012任意选出两个不同的数的结果数，再判断使yaxb的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案.【详解】解：列表如下：21202,02,12,2200,21,20,20,11,02,0121,22,12,2＞b＞0,0,一共有12种等可能的结果，而分布在一二三象限，yaxba21率是选：A.=.1262所以符合条件的等可能的结果数有种，所以使分布在一二三象限的概yaxb【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵应活用以上知识解题是解题的关键4．（2022•绵阳市九年级一模）如图，以论错误的是（）.O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠AOB＝20°C．MN∥CDD．MN＝3CD【分析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，根据圆周角定理判断A；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；：D．∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．5．（2022·广西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（）A．2：3【答案】AB．2：5C．3：5D．3：7【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝，EH即可得EH：＝CH2：3，根ADEH2据平行线等分线段定理即可得DCCH3．DDH∥AE交BC于H，【详解】解：如图，过点作∵BF＝DF，FE∥DH，∴BE＝EH，∴BE：BC＝2：7，∴EH：CH＝2：3，ADEH2，故选：∵AE∥DH，∴DCCH3A．【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．6．（2022·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于O，4，则GH的长度为(DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是)434C．638B．42323D．A．223【答案】A【分析】连接AC交EF于M，连接OF，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC交EF于M，连接OF，四边形ABCD是正方形，90，BACDAC是的O直径，是等腰直角三角形，2AD42，OAOC22，ACOFMAEF是等边三角形，，AMEF30OM，1OF2，2CMGCM2，ACD45，90，CGM45，CGHGHCM22．故选：．是等腰直角三角形，2A【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．7．（2022·河南南阳·二模）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO＝2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点、当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（）A．（4，4）或（252，4）B．（252，4）4，4）或（252，4）C．（【答案】C12，4）或（252，4）D．（12，4）或（【分析】根据已知可得OA=4，OB=8，从而利用勾股定理可求出AB，然后分两种情况，当∠AE1B=90°，当∠BAE2=90°，进行计算即可解答．【详解】解：∵A（4，0），∴OA=4，tan∠BAO=BO2，∴OB=2OA=8，OA在Rt△ABO中，∴ABOA2OB2，844522∵点C，D为OB，AB的中点，1OBCDOA24，1∴OC，//如图，CDOA分两种情况：22当∠AE1B=90°，点D为AB的中点，12AB25，CECDDE225，∴E1（2＋25，4），∴DE1＝11当∠BAE2=90°，过点E作E2F⊥x轴，∴∠BAO+∠E2AF=90°，2∵∠BOA＝90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∴∠ABO＝∠E2AF，∵∠BOA＝∠AFE2=90°，∴△BOA∽△AFE2，8AFBO∴AF，∴＝，∴OAEFAF=8，∴OF=OA+AF=12，∴E（12，4）．2442△AEB综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为（E2＋25，）或（，）．1244【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．8．（2022·重庆九年级开学考试）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A点测得佛顶仰角为，接着向大佛走了米来到B处，再经过一段坡度i4:3，坡长为53710C大佛的水平距离DH6.2米的斜坡BC到达处，此时与CEF米（其中点A、B、、、在同一平面内，点A、B、F在同一条直线上），请问大佛的高度EF为（）（参考数据：tan370.75，sin370.60，cos370.80)．A．15米B．16米C．17米D．18米【答案】B设CM4x，3x，则由勾股于点，过点作GNEF于点，MGNBMCCMBF【分析】过点作定理可以求出x=1，再证明四边形和四边形是矩形，得到DHFM6.2米，从求出DHFMAGNFAFGN19.2米，最后解直角三角形即可．【详解】解CCMBF：过点作于点，M过点作GNEF于点，GNCM4x，3x，斜坡BC的坡度i4:3，BC5米，设BM∵CM2BM2BC(4x)2(3x)252，解CM4BM3得1，米，米，2x∵DH⊥EF，AB⊥EF，DM⊥AB，GA⊥AB，DHFM6.2米，∴四边形和四边形是矩形，DHFMAGNF米，AFGNABBMMF1036.219.2米，AB1037，tan37ENNGEGN在中，RtENG0.75，EN0.75NG0.7519.214.4米，EFENNF14.41.616米．故选．B【点睛】本题主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．（2022·四川旌阳·九年级期末）关于x的函数的图象与x轴有四个不同的公yx|x2|4xk12共点，则的取值范围是（）k13131313A．且k33kB．C．kkD．k4444【答案】Bx5xk3(x2)2首先根据绝对值的意义将整理为yyx|x2|4xk1【分析】，2x23xk1(x2)24ac>0，代入列出不等得到判别式式组求解即可．b根据图象与x轴有四个不同的公共点x5xk3(x2)2【详解】解：∵∴yyx|x2|4xk1，2x23xk1(x2)(5)4(k3)02132由题意得(3)24(k1)0，且当时，，即48k10，解得：3k．故选：B．y>0x4【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与轴交点的关系，解题的关键是熟练掌x握．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2022·绵阳市·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞3c；④若方程ax2+bx+c＝0两个根和，则3＜|﹣|＜4，其中正确xxxx1212的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab的符号，然后根据函数和y轴的交点坐标可判断出c的正负，进而可判断出abc的正负；x=3时，即可判断函数值a与b的关系，然后根据当x=1时函数值x轴的交点坐标的取值范围求解即可．y轴右侧，则a，b异号，而c＞0，则abc＜0，故结论正确；x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故结论正确；c4a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴a＞，故结论正确；30＜x＜1，3＜x＜4，②根据二次函数的对称性可得当y的正负；y为负求解即可；③首先由对称轴公式得出④根据二次函数与【详解】①抛物线对称轴在②由图象可知b③∵＝2，∴b＝﹣2a④若方程ax2+bx+c＝0两个根x和x，由图象可知，1212∴则2＜|x﹣x|＜4，故结论错误；故选：A．12【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·江苏）小红在半径为2m和3m的同心圆，地上画了如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．5【答案】9【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率．【详解】解：＝Sπ（3﹣22）＝5π（cm2），2阴影5π59π9S5==所以掷中阴影部分的概率是，故答案为：．阴影S9大圆【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．12．（2022·黑龙江·九年级期中）设a、b为两实数，且满足，24b30，则a4a30b2ba______．ab22【答案】或23【分析】设、是4x30的两个解，再根据根与系数的关系进行求解．abx2【详解】解：当满足24a30，430，abab≠时，∵实数、ab2b∴可设a、b是4x30的两个解，∴a+b=4,ab=-3x2bab2a∴2ab422322；ab22ababab3322ba112．故答案为：或当=时，ab2．3ab【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据题意构造一元二次方程进行求解．yP(2,y)(3,)函数yxxc的213．（2022·四川旌阳·九年级期P末）点(2,)，，Py均在二次2112233y，y，y的大小关系是________（用“”连接）．123图象上，则yyy【答案】231【分析】根据二次函数的解析式求得开口方向和对称轴，根据二次函数的性质可得离对称轴越远的点P,P,P到对称轴值越小，分别计算1y，y，y的大的函数x1的距离，进而即可求得小关系．2312322【详解】解：yx22xc，对称轴为1，10ax二次函数的图象开口向下，则离对称轴越远的点的函数值越小，yx22xc的图象上，函数P(2,y)，P(2,y)，P(3,y)均在二次点112233P,P,P到对称轴3,1,2，则yyy故答案为：yyy231点x1的距离分别为123231【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．ABcmBC中，8，16cm，14．（2022·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC2cm/s4cm/s动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；动点同时运动，那么经过______秒时△QBP与ABC相似．如果P、两Qt秒时，△QBP与相似，则2tcm,BP(82tcm),BQ4tcm,利用两组对【分析】设经过ABCAPBPBQ应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，BPQ∽BAC，即BABC82t4tBPBQ82tt4；当△BPQ∽△BCA时，，即，然后解方程即可求出答案．816168BCBAt秒时，QBP与相似，则2tcm△,BP(82tcm),BQ4tcm,【详解】解：设经过ABCAPBPBQ，即t4t，解得：t2；∵PBQABC，∴当时，BPQ∽BAC82BABC8164BPBQ82ttt0.8当时，，即，解得：；△BPQ∽△BCABCBA168综上所述：经过0.8s或2s秒时，QBP与相似，△ABC【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．15．（2022·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且离教学楼60米，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，时此这位同学一共走的距离为______米．距某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，302306．【答案】【分析】过P作PC⊥AB于C，由新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，可得∠=45°可证APC=AC，由PA=60米，由三角函数可得AC=PC=302，由综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B=30°，可求PB=2PC=602，在Rt△BCP中，BC=PBcos30°=306，可求302306米即可．AB=BC+ACPPCABC【详解】解：过作⊥于，∵新疆部位于学校主教学楼南偏东45°方向，AP∴∠A=45°∴∠CPA=90°-∠A=45°，∴PC=AC，设AC=PC=x，∵PA=60米∴AC=PC=PAcos45°=602302，2B∵综合楼处在教学楼北偏东30°方向，∴∠B=30°，∴PB=2PC=602，在Rt△BCP中，BC=PBcos30°6023306，2302306302306．∴AB=BC+AC米．故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握方位角，三角函数定义，以及三边之间关系是解题关键．平行四边形中，，，，ABCDACBCAB5BC316．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，点在边上运动以为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，PPABCD圆心，为PAABPP则AP的长度满足条件是_______．20125或AP52【答案】AP9【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断．【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设E，连接PE．在Rt△ABC中，2=4，切点为理得：AC=AB2BC由勾股定设AP=x，则BP=5-x，PE=x，∵⊙P与边BC相切于点E，∴PE⊥BC，PEPBx5x2020,AP9；x9∵BC⊥AC，∴AC∥PE，∴，∴，∴ACAB45如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．12∵S=2×1×3×4=5PE，∴PE=5，ABCD平行四边形220观察图象可知：＜12AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，95②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，5201255或AP=2．9AP此时AP=，综上所述，AP的值的取值范围是：220故答案为：1255或AP=2．AP9【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏·常州外国语学校九年级月考）计算：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°；（2）cos60°﹣2cos45°+3tan230°．25【答案】（1）；（2）1．231）将tan45°=1，sin30°=1，cos30°=，tan60°=3分别代入，再计算解题；【分析】（22（2）将cos60°=1，cos45°=2，tan230°=(3)2=1分别代入，再计算解题．2233【详解】解：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°=211+33=1+23=52；22111（2）cos60°﹣2cos45°+3tan230°=1223(3)2331．2222223【点睛】本题考查特殊角的锐角函数值、锐角三角函数值的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．（2022·广东广州·九年级期末）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率【答案】（1）60，见解析；（2）125、90；（3）16【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），补全图（Ⅰ）如下：故答案为：60；（2）估计该校学生最喜爱圆心角度数为：360°×15=90°，故答案为：125，90；“①数独挑战”的人数为：500×15=125（人），60图（中扇形①的Ⅱ）60（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，21∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为=．126【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数的概率．19．（2022·四川成都·九年级期末）B(1，3)，(2，1)．目m，然后根据概率公式求出事件A或B如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，C(1)请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出ABC的位似图形ABC，使它与ABC的111相似比为2：1；(2)求出ABC的面积．111【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．（1）如图所示，即为所求．(2)△ABC的面积为4×4-1×4×2-1×2×2-1×2×4=6．111222【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．20．（2022·贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角BDC60．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE3m，8m（，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解AEF答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：31.73）．【答案】(1)33m(2)1.2m【分析】（1）解Rt△ADE即可求解；（2）延长FC交AB于点G，证明DGC可求解．是等边三角形，解Rt△AFG，根据DCDGAGAD即(1)在Rt△ADE中，tanAEDADtan603AEAE3mAD33m3AE(2)如图，延长交于点G，ABFCAFAEEFAE3,EF8113AG113tanFAGtan30AF33RtAFG中，90,30AGF60AFBDCGDC60DGC是等边三角形11333231.2DCDGAGAD33答：灯管支架CD的长度约为1.2m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．21．（2022·内蒙古呼和浩特·）某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，前7年，公租房面积y（单位：构成一次函数（1≤≤x7且x为整数），系是＝+（7＜x≤12且x为整数）．已知每年竣工投入使用的百万平方米），与时间x（第x年）的关系且第一和第三公租房面积分别为和7百23年竣工投入使用的62115万平方米；后五年竣工面积与时间的关yx84（1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那最么后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的mx函数解析式为＝2+36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W关于时间x的函数解果在取得最大值的这一年，老张租用了W58平方米的折式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如房子，计算老张这一年应交的租金为多少？【答案】（1）最后一年竣工投入使用的公租房面积可解住房问题；（决12.5万人的2）1x22x144，1x73W；W的最大值为1.47亿元；老张这一年应交的租金为2436元．1x23x135，7x124【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式，算出第六年对应的值，由已知条件即可求得答y案；（2）分别算出和时，的函数表达式，配方求得最值，对比分析即可知道的最1x7712WWx大值，进一步求得老张应交的租金．【详解】解：设ykxbk0,1x7236kb11k，解得：∴641x7由已知得：yx3kb76b42164=3∴30020=15（平方米），15(120)18％当6时，xy（平方米）611599x12当y12=∴10018=12.5（万人）时，8444所以最后一年可解决12.5万人的住房问题．11（2）当时，1x72x3642144；Wxx23x61511x31358当712时，xW2x36x2x441x22x144，1x7312年中每年竣工的公租房年租金关于时间的函数解折式为W∴这Wx1x23x135，7x124113∴当时，=147；x314721x7又∵当时，xxW22144xW3311x614424x∴当时，W=143；x8∵当7W12时，2xx31354∵147＞143∴当x3时，年租金最大，的最大值为亿元1.47W当x3时，m23364258422436∴（元）所以老张这一年应交的租金为2436元【点睛】本题考查一次函数实际应用，二次函数的应用．能够从大量文字中提取出解题所需要的条件，并能够列出符合题意的表达式，利用配方法将二次函数一般式配成顶点式，从而求出最值是解题的关键．22．（2022·杭州市十中三教育集团九年级）如图，中，OAOB，O过ABOAB中点，且与COA、、分别交于点、．（1）求证：直线是的切线；（2）延长交于点，连结DFEFABDAOOO证：EDCFDC；（OBDC，求DE10DF63）在（2）的条件下，若，，求的长．CD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【分析】（1）连接，证即可证直线是的切线；OCABOCABOEDC（2）由圆周角定理可得1AOC，FDC1BOC，由（221）证BOC即可；AOCONDFN（3）作于，延长交于，在t中求出、即可求出．DFABMDMCMCDRCDM【详解】解（1）证明：连接，如下图：OCOCABOO∵，为的中点，∴，∵点在上，∴是的切线；OA=OBCABCAB（2）根据圆周角定理可知，EDC1AOC，FDC1BOC，22FDC；EDCBOCAOC由（，∴1）可得（3）作于，延长交于，如下图：DFABMONDFN，∴DN=NF=1DF=3，∵，=ONDFODOF21在t中，∵OND=90，RODN=，，∴ON=OD2DN2=4，=5DN=3ODDE2ODOC∵=，∴OCD=EDCEDC=FDC，∵OCD=FDCOCDM，，∴，∴∥OCABDMAB∵，∴是矩形，∴ONCM4，MNOC5，，∴四边形OCMN在t中，DMC=90，，4DM=DNMN=35=8RCDM∴CMCDDM2CM2824245．【点睛】本题比较综合，考查了圆的切线，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等相关知识，熟练掌握并能灵活运用每一个细小的知识点，是解决此类综合大题的关键．23．(2022.成都市初三一诊)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BPCQ；（BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使APPQ，APQABC，连接CQ．判断ACQ的数量关系，3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边6，CQ22，求正方形ADBC的边2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边∠ABC和∠并说明理由；（长为长．2）ABCACQ，理由见解析；（【答案】（1）证明见解析；（3）正方形ADBC的边长为214．∠BAP＝∠CAQ，根据AB＝AC，AP＝AQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可2）由等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAPA，【分析】（1）易证得出结论；（ACAQ易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，可得∠ABC＝∠ACQ；APAQ（3）连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC2，∠BAC＝45°，2，∠PAQ＝45°，易证∠BAP＝∠CAQ，则可得△ABP∽△ACQ，根据相似三角形的性质求出BP＝4，设PC＝x，则BC＝利用勾股定理列方程求AC＝4＋x，在Rt△APC中，出x，即可得出结果．【详解】（1）证都是等边三角形，APQBACPAQ60，1323，12．，，ABPACQ，明：如图1，与ABCBPCQ；ABACAPAQ又（2）ABCACQ，180ABCABBCBAC理由：如图2，在中，，，ABC2180APQPAQPAPQ在△PAQ中，，，2BAPA，ACAQAPQABCBACPAQBAC，，，PAQ2又13BAC3，，12，ABPACQ，∴ABCACQ；45，（3）如图3，连接AB，，正方形ADBC，2，BACAP的中心，2，45，PAQ又Q为正方形APEFAQ213BAC3，PAQ2，，1ABAP，ABPACQ，2，CQ22，4，2ACCQABBPBPACAQ设PCx，则BCAC4x，在RtAPC236(4x)2x，即2，AC2PC中，AP2解得：x214，0，x214，边长AC4x214.x【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．224．（2022·广东·广州九年级期中）如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A2,0、B6,0两点，4,n．与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，点的坐标为D(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当PAD面积最大时点P的坐标及该面ADQ45积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且，请直接写出点Q的坐标．3,y1x1(2)