2021年上海星火学校高三数学文月考试卷含解析

2021年上海星火学校高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、、…中，有理数项的项数为A．42

B．43

C．44

D．45参考答案：B2.某学校有男学生400名，女学生600名，为了解男女学生在学校兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（

）A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．分层抽样法参考答案：D试题分析：样本容量与总体容量成正比例，这属于分层抽样．考点：分层抽样．3.若集合，则=A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知数列满足，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c则满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略5.函数的图像大致为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C令,因为,故排除选项A、B,因为,故排除选项D;故选C6.已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A．

B.

C.

D.参考答案：D7.函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，“”是“函数在区间[a,b]上恰有一个零点”的________条件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.非充分非必要参考答案：D8.已知函数，其中，则下列结论中正确的是（

）A．的最大值为2

B．是最小正周期为π的偶函数C．将函数的图像向左平移得到函数的图像D．的一条对称轴为参考答案：C略9.“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件 A．充分而不必要

B．必要而不充分C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：A10.已知函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是（

）

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=____

__.参考答案：略12.设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为

。参考答案：13.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形，各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是____________.参考答案：、本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,易知此几何体是半个圆锥.该半圆锥的底面半径为4,高为6,母线长.所以该几何体的体积是,表面积是.14.函数在处有极值10,则点为______.参考答案：

;提示：由题意得，（1）x=1满足，（2）（1，2）是函数图象上的点，由（1）（2）可求a,b.15.设变量x，y满足约束条件，则的最小值为_____；的最大值为_____．参考答案：1

【分析】作出不等式组对应的可行域，结合式子的几何意义，数形结合即可得到结果.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，，联立，解得．令，由图可知，当直线过时，有最小值为1；由的几何意义，即可行域内动点与定点连线的斜率，可得的最大值为．故答案为：1；．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.已知变量a，θ∈R，则的最小值为

．

参考答案：略17.已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列的前10项和，则数列的一个通项公式

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）已知等比数列的公比为q，前n项的和为，且，，成等差数列．（1）求的值；（2）求证：，，成等差数列．参考答案：（1）由，，成等差数列，得，

1分若q＝1，则，，

3分由≠0得，与题意不符，所以q≠1．

4分由，得．

5分整理，得，由q≠0，1，得．

8分（2）由（1）知：，

10分，所以，，成等差数列．

12分略19.已知函数对任意的实数、都有,且当时,.(1)求证:函数在上是增函数；(2)若关于的不等式的解集为,求的值.参考答案：(3)若，求的值.(3)在已知等式中令,得所以累加可得，,故.…12分20.在△ABC中（如图1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如图2所示的三棱锥C﹣A1BD．（1）求证：E1F∥平面A1BD；（2）若二面角A1﹣CD﹣B为直二面角，求直线A1F与平面BCD所成的角．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知E1F为A1BC的中位线，由此能证明E1F∥平面A1BD．（2）连结DF，则A1D⊥BD，A1D⊥CD，从而A1D⊥平面BDC，∠A1FD为直线A1F与平面BCD所成的角，由此能求出直线A1F与平面BCD所成的角．【解答】（1）证明：E1，F分别为AC，BC的中点，则E1F为A1BC的中位线，故E1F∥A1B因为A1B?面A1BD，E1F?平面A1BD，所以E1F∥平面A1BD．

（2）连结DF，∵二面角A1﹣CD﹣B为直二面角，∴A1D⊥BD，又∵AC=BC且D为AB的中点，∴A1D⊥CD，得A1D⊥平面BDC，故∠A1FD为直线A1F与平面BCD所成的角在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，得CD=1，CF=1，∠DCF=60°∴△CDF为等边三角形，故DF=1，则得∠A1FD=60°．故直线A1F与平面BCD所成的角为60°．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.2017年11月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对40名裁判人员进行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如下：（1）培训前组委会用分层抽样调查方式在第3,4,5组共抽取了12名裁判人员进行座谈，若将其中抽取的第3组的人员记作，第4组的人员记作，第5组的人员记作，若组委会决定从上述12名裁判人员中再随机选3人参加新闻发布会，要求这3组各选1人，试求裁判人员C1，D1不同时被选择的概率；（2）培训最后环节，组委会决定从这40名裁判中年龄在[35,45]的裁判人员里面随机选取3名参加业务考试，设年龄在[40,45]中选取的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：解：（1）各组频率分别为：，这40人中，来自各组的分别有人，分层抽样后，来自第3,4,5组的分别有6,4,2人，当分别从这三组抽一人有种情况，记事件“裁判人员不同时被选中”则“裁判人员同时被选中”，故为所求.（2）随机变量的可能取值为，且有：故分布列为：的数学期望为：.

22.已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t﹣2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）当t=4时，F（x）=g（x）﹣f（x）=loga，x∈[1，2]，令h（x）==4，x∈[1，2]，设u=x+，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知u（x）=x+在[1，2]上为单调增函数．∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，∴h（x）min=16，h（x）max=18．当0＜a＜1时，有F（x）min=loga18，令loga18=2，求得a=3＞1（舍去）；当a＞1时，有F（x）min=loga16，令loga16=2，求得a=4＞1．∴a=4．（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，logax≥2loga（2x+t﹣2）恒成立，由logax≥2loga（2x+t﹣2）可得loga≥loga（2x+t﹣2），∴