数理统计方法应用

–随 – – – ： 例1:抛一个 样本空间：W={w1,w2,...,w6} A=w4w,w6} A与 若A B且B A，记为A=BA与B的并(和)：AUB

A B的交(积ABA与BABAIBAA与 B的差：记为A－BA- 与 与记为：AB= A1,A2,L,An是互不相容的（互斥）是指其中任意的两个 都是互不相容的,即:AiAj=˘,(1£i<j AUBWABAA 记为A=W-AAA的对 A表 A的否定,即A不发生

A= A=AUB= AIB=B-A=AD=˘

AUE=W,AIE=˘

交换律:AUB=BUAAIBBI结合律AU(BUC=AUB AI(BIC)=(AIB)IAU(BIC=AUBI(AUAI(BUC)=(AIB)U(AI AU(IBi)=I(AU AI(UBi)=U AUB=AIB,AIB=AU UAi=IAi I

=Ui

IA= IA= A1A2 ：A1A2A3UA1A2A3UA1A2

A1A2A3=A1UA2UA1UA2UA1A2A3=A1UA2U fn(A

nA

--A 若1,A2,L,Ak nmn次试验中A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率mnp的附近摆动，并且随着试验次数的增多，这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值p称为随机A发生的概率，记作PA)p。正比).则 P(A)=mA

例4:y0xP(A)=mA

=602- 定义：若样本空间W的元素只有有限个；每个基本 发生的可能性相同，则这种试验称为等可能概型，即古典概型。计 设样本空间W中样本点的总数为A所包含的样本点个数为MA发生的概率为

nrCrCn+r-Ann （PrAnnCC6.0~9十个数字中任意选取一个数字，求：1)取得偶数数字的概率；2)3整除的数字的概率。5A表示取得偶数数字，513则W13081/2A={0,2,4,6,8},B081/262\P(A)=5=62即：取得偶数数字的概率为9 即：取得偶数数字的概率为9 7P(B)=10=7即：取得能被3整除的数字的概率为2/5个产品，求其中恰有m个次品的概率。NN CmCn-Cn\P(A)= N-CnN

n-. .CC例8.袋内有ab个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回，连取k个球（k£ab），求第k次取得白球的概率。 \P(A)

A1Ak- A a+b-1Aka

a+ ， A A，有P(A)‡0P(W)= 即对于ijAiAj=˘,ij1,2,LP(A1UA2UL)=P(A1)+P(A2)A1,A2,L 是两两互不相容 ，则有P(A1UA2ULUAn)=P(A1)+P(A2)+L+P(An设 B，则P(B-A)=P(B)-P(A)P(BPAP(BAP(BPP(A)£P(A)=1-P(+P(123)nn=P(Ai)-P(AiAj)+ +(-1)n-1P(AALA 证明:An˘,n1,2,L¥UAn=˘¥ P(˘)‡\P(˘)=)(6)P)UB=P(A+B BP)P(AU (B- ) ( = P+(B)- AB

P)UB=PA+B) P(称为加法公( 例9.设A与B为两个随 0.7,当A、BP(B解：PAUB)PAPBP\P(AB)=P(˘)=\P(B)=P(AUB)-P(A)+P(设A、B为 ，且P(A)>0，P(B|A)=P(P( B发生的条件概率例10：一盒装有5只产品，其中有3只是一等品，2只二等品，从 试求条件概率P(B|A)。则=,,}2只一等品、2只二等品中抽取，所以，这时抽到一等品的概率为P(B|A)=2=1 3

P(A)

P(AB)

2 5\P(B|A)=P(AB)

206=6 3 ：P(AB)=P(B|A)P(PA推广：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(PAB) P(An-1|A1LAn-2)LP(A2|A1)P(11.10010%，每次从其中任取一个，取出的不再放回，求第三次才取得合格品的概率。Ai表示第i次取得合格品

)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2=10990=

０

P(B|A)=于是有 P(AB)=P(B|A) P(A)＝P(A)P P(AB)=P(A)P(B)ABAB、AB、AB：也相互独立。作为示例只证明AB相互独立P(AB)=P(A-AB=P(A)-P(AB=P(A)-P(A)P(=P(A)P(BAB相互独立 设：AB={乙命中目标} P(C)=1-P(C)=1-P(=1-P(A)P(B)= P(A|C)=P(AC)=P(A)=0.8=40

？更一般地:若n 及1£i1i2ik£n

£ £

P(AiAi...Ai)=P(Ai)P(

)...P(Aiki 注：共需满足C2C3+LCn=2n-1n A）与试验E2的任一结果（ B）

n ，B1,B2,...,Bn 的一个W划分,即:BiBj=˘,i„j；B1UB2ULUBn=Wn且P(Bi)>

P(A)=P(A|Bi)P(Bi

P(A)=P(AW)=((1¨B2¨L¨=P(AB1¨AB2¨L¨ABn=P(AB1)+P(AB2)+L+P(ABn=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+LP(A|Bn)nn=P(A|Bi)P(Bi

A2个球都是白球，Bi表示所选的袋子是第i个（i1,2,32P(B1)=3P(B2)=5P(B3)=

C P(A|B)=2 C P(A|B2)=3 C P(A|B)=4 C \P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)= 1+ 3+ 6=41=10 10 10 全概率

nnPBi──先验概率。（i0,1,2,Ln 的概率，即求P(Bi|A)PBi|A──后验概率。（i0,1,2,Ln： ，B1,B2,L,Bn为一个完 P(A)> P(Bi)>0,i=1,2,L,P(B|A

P(A|

)P(B , i=1,2,L,n n

P(A|

例14.某种试验检查 P(B)=0.004，P(A|B)=0.95，P(A|B)=\P(B)=0.996,P(A|B)=0.05,P(A|B)=P(B|A)=

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)说明:试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有 P(B|A)=

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) 的可能性极大。已知P(A)=0.4，P(B)=0.3,P(AU==A-A-BP(AB);P(AB);P(==A-A-BP(AB)=P(A)+P(B)-P(AUP(AB)=P(A-B)=P(A-=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=

)=0.6

＝ 课