概率论与数理统计答案

概率论与数理统计答案

为了研究随机现象，需要进行随机试验来观察客观事物。随机试验具有相同条件下可重复进行、每次试验有多种可能性且可以明确所有可能结果、每次试验前无法准确预测结果等特点。事件A在给定B已经发生的条件下发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B)，而P(A)则称为无条件概率。随机事件（或偶然事件）是在每次试验中可能发生也可能不发生，但在大量试验中具有某种规律性的事件。最简单的随机事件称为基本事件，不能分解成其他事件组合。必然事件在每次试验中一定发生，用符号Ω表示。不可能事件在每次试验中一定不发生，用符号φ表示。当对随机变量ξ的每个可能取值x都有另一个随机变量η的相应取值y=f(x)时，称η为ξ的函数，记作η=f(ξ)。研究如何根据ξ的分布求出η的分布，或由(ξ1,...,ξn)的分布求出η=f(ξ1,...,ξn)的分布。总体是研究对象的全体，组成总体的每个基本单位称为个体。抽出若干个体而成的集体称为样本，样本中所含个体的个数称为样本容量。抽样通常有随机抽样和分层抽样两种方法。若随机变量ξ的分布函数F(x)可以写成xF(x)=∫φ(t)dt（-∞,x），其中φ(x)≥0，则称ξ为连续型随机变量，称φ(x)为ξ的概率密度函数，也常写为ξ~φ(x)。它具有两个基本性质：1)φ(x)在整个实轴上的积分为1；2)F(x)是x的不减函数。根据分布函数，可以知道ξ在任何一个区间上取值的概率，分布函数具有不减、左连续、至多可列个间断点等性质。(9)设连续型随机变量ξ有概率密度φ(x)，若积分∫φ(x)dx在区间(-∞,+∞)绝对收敛，则称Eξ=xφ(x)dx为ξ的数学期望。(10)数学期望的性质：1)常量的期望等于这个常量本身。2)随机变量ξ与常量C之和的数学期望等于ξ的期望与C的和。3)常量与随机变量ξ的乘积的期望等于这个常量与ξ的期望的乘积。4)随机变量ξ的线性函数aξ+b的数学期望等于a乘以ξ的期望再加上b。5)两个随机变量ξ和η之和的数学期望等于ξ的期望加上η的期望。6)两个相互独立随机变量ξ和η的乘积的数学期望等于ξ的期望乘以η的期望。(11)方差的性质：1)常量的方差等于零。2)随机变量ξ与常量C之和的方差等于ξ的方差本身。3)常量与随机变量ξ的乘积的方差等于这个常量的平方与ξ的方差的乘积。4)两个独立随机变量ξ和η之和的方差等于ξ的方差加上η的方差。5)任意随机变量ξ的方差等于ξ的平方的期望减去ξ的期望的平方。(1)一批产品共200个，其中有6个废品。废品率为6/200=3%。任取3个恰有1个是废品的概率为(6/200)×(194/199)×(3/198)×3=0.0343，任取3个全非废品的概率为(194/200)×(193/199)×(192/198)=0.8574。(2)事件A1表示甲厂产品，A2表示乙厂产品，B表示产品为合格品。有关事件的概率：1)P(A1)=0.7，P(A2)=0.3。2)P(B|A1)=0.95，P(B|A2)=0.8。3)P(Bc|A1)=0.05，P(Bc|A2)=0.2。(3)第一次比赛时取到新球的概率为1，第二次比赛时取到新球的概率为(12-3)/(12-1)=9/11，第三次比赛时取到新球的概率为(9-3)/(9-1)=3/4。所以第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率为1×9/11×3/4=27/44。(4)被选到的女同学人数ξ的分布律为：P(ξ=0)=C(17,4)/C(20,4)=0.4545，P(ξ=1)=C(3,1)×C(17,3)/C(20,4)=0.4545，P(ξ=2)=C(3,2)×C(17,2)/C(20,4)=0.0758，P(ξ=3)=C(3,3)×C(17,1)/C(20,4)=0.0152。(5)在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量ξ的概率密度函数为：φ(x)=1/(b-a)，a≤x≤b。其分布函数为：F(x)=∫φ(t)dt=0，x<a；F(x)=∫aφ(t)dt=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b；F(x)=∫φ(t)dt=1，x>b。所以F(x