比和比例奥数讲义汇编

学习-----好资料比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定，亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．更多精品文档学习-----好资料⑩圆的半径和面积．长方体体积一定，底面积和高．(12)正方形的边长和它的面积．(13)乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、 (15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、 (11)、(14)不成比例的有：③、⑩、 (12)、(13)．例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时 3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间， 必须知道走上坡路的速度（题中每小更多精品文档学习-----好资料时行3千米）和上坡路的路程，已知全程 60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是 1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：60× 1 =10（千米）1 2 3走上坡路用的时间：10÷3=31（小时）3上坡路所用时间与全程所用时间比：445615走完全程所用时间：31÷4=121（小时）3 15 2答：此人走完全程共用 121小时。2例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是 2∶3时，合金的重量不是 36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是 2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：30× 2 =12（克）2 3新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．更多精品文档学习-----好资料新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．答：新合金内铜和锌的比是 1∶2．例4师徒两人共加工零件 168个，师傅加工一个零件用 5分钟，徒弟加工一个零件用 9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工1个零件；徒5弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件1个。师、徒两人效率9的比是1：1，由于两人的工作时间是一定的，根据工作量工作时间59工作效率（一定），工作量与工作效率成正比例．解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．x15168x19解得x＝108．168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．解法2：由于师、徒两人工作效率的比是1:1，那么他们工作量59的比也是11，因此师傅工作量是徒弟工作量的1÷1=4（倍），徒55995弟的工作量为1倍量。÷（1÷1＋1）=60（个）（徒弟）5 9×（1÷1）=108（个）（师傅）5 9解法3：师傅每分钟加工1个，徒弟每分钟加工 1个，用相遇问5 9题思考方法可求出两人各用了多少分钟。 然后用师、徒每分钟各自的更多精品文档学习-----好资料效率，分别乘以 540就是各自加工零件的个数。÷（1＋1）=540（分钟）5 9×540=108（个）5×540=60（个）9解法4：按比例分配做。1：1=9：59168×99 5×59 5

=108（个）=60（个）例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率 1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率 80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需 x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成计划还需 12天．更多精品文档学习-----好资料解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的＋1倍，把原来效率看成“1”，实际和原来效率的比是1：441=5：4。因为工效和工时成反比例， 所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要 x天，原来计划的天数是 20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比， 可以用正比例解答．设完成计划还需 x天．4=x5520解得x＝12．解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天．×（1＋25%）×x=1－1×52020解得x12例6一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题：解法1：BC的长：182÷13＝14（厘米），更多精品文档学习-----好资料BD的长：14＋13＝27（厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，AB的长是27÷9=15（厘米）5AD 的长是15÷5=42（厘米）14原长方形面积是 42×15＝630（平方厘米）．答：原长方形面积是 630平方厘米．解法2：设原长方形长为 14x，宽为5x．由图分析得方程14x－13）×13－5x×13＝182，x＝3．则原长方形面积：14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力。更多精品文档学习-----好资料习题1．一块长方形的地，长和宽的比是 3∶2，长比宽多 24米，这块地的面积是多少平方米？2．一块长方形的地，长和宽的比是 3∶2，长方形的周长是 120米，求这块地的面积？3．水果店运来橘子、苹果共 96筐，橘子和苹果筐数的比是 5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？4．化肥厂计划生产化肥 1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是 4∶3，已知一件上衣 7元，求一条裤子多少元？6，小刚读一本书，第一天读了全书的 2，第二天比第一天多读15了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3：7。小刚再读多少页就能读完这本书？7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2：3，已知甲车走完全程用51小时。求两车几小时后在中途相2遇？8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行 12公里，逆流航行 7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比。更多精品文档学习-----好资料更多精品文档学习-----好资料更多精品文档学习-----好资料一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值 .从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比 .例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是 2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是 864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数 .例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形 CDE与三角形 CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）=3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样 .三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点 .更多精品文档学习-----好资料例3 大、中、小三种杯子， 2大杯相当于 5中杯，3中杯相当于 4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比 .解：大杯与中杯容量之比是 5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是 4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是 10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是 44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比 10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子 .甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.更多精品文档学习-----好资料答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长 .问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是 6份.x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是 30∶25∶26.于利用已知条件 6∶5，使大部分计算都整数化 .这是解比例和分数问题的常用手段 .例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是 22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为 1，因此平均价是更多精品文档学习-----好资料答：这些糖果每千克平均价是 27.5元.上面解法中，算式很容易列出， 但计算却使人感到不易 .最好的计算方法是， 用22，30，33的最小公倍数 330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路 .解二：先求出这三种糖果所买数量之比 .不妨设，所花钱数是 330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙 =15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买 12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量 .例7 一个分数，分子与分母之和是 100.如果分子加 23，分母加 32，解：新的分数，分子与分母之和是（ 10+23+32），而分子与分母之比 2∶3.因此更多精品文档学习-----好资料例8 加工一个零件，甲需 3分钟，乙需 3.5分钟，丙需 4分钟，现有 1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成 700个，600个，525个零件，需要 35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题 .例9 某团体有 100名会员，男会员与女会员的人数之比是 14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多 .各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是 100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.更多精品文档学习-----好资料答：丙组有 12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是 1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是 4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时 3千米，路程全长 50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比 .上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.更多精品文档学习-----好资料上面是通常思路下解题 .1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事 .事实上，灵活运用比例有简捷解法 .解二：全程长是上坡这一段长的（ 1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用 x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化 .通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容 .例11 甲、乙两同学的分数比是 5∶4.如果甲少得 22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是 5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化 .原来要分成 5+4=9份，变化后要分成 5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键 .9与12的最小公倍数是 36，我们让变化前后都按 36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得 22.5分，相当于 20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得 90分，乙得 72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程 .解二：设原先甲的得分是 5x，那么乙的得分是 4x.根据得分变化，可列出比例式 .5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5更多精品文档学习-----好资料x=18.甲原先得分 18×5=90（分），乙得 18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变 .增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是 5-4.5=0.5 （份）.现在总球数是答：现在共有球 224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变 .把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：x+8）∶2x=5∶9.例13张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解 .如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出更多精品文档学习-----好资料答：张家收入 720元，李家收入 450元.解二：设张家收入是 8份，李家收入是 5份.张家开支的 3倍与李家开支的 8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的 3倍是（8份-240）×3.李家开支的 8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是 1440÷16=90（元）.张家收入是 90×8=720（元），李家收入是 90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求 x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些 .例14 A和B两个数的比是 8∶5，每一数都减少 34后，A是B的2倍，求这两个数 .解：减少相同的数 34，因此未减时，与减了以后， A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点 .8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.更多精品文档学习-----好资料本题也可以用例 13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的 2∶1，改写成 8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性 .4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成 7份，变化后总数仍分成 7份，总数多了 7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的 5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸 11×5-15=40（张），小强原有图画纸 11×2+8=30（张）.答：原来小明有 40张，小强有 30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法 .解三：设原来小明有 4“份”，小强有 3“份”图画纸 .把小明现有的图画纸张数乘 2，小强现有的图画纸张数乘 5，所得到的两个结果相等 .我们可以画出如下示意图：更多精品文档学习-----好资料从图上可以看出， 3×5-4×2=7（份）相当于图画纸 15×2+8×5=70（张）.因此每份是 10张，原来小明有 40张，小强有 30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题 .用比例式的方程求解没有多大差别 .用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性， 找到较简捷的解法， 也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握 .例13的解一，也是一种通用的方法 .“假设”这一思路是很有用的， 希望读者能很好掌握，灵活运用 .从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性 .因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维 .例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是 2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了 3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以 2，使原来要考虑的“ 2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧 .再请看一个稍复杂的例子 .例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下 3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？更多精品文档学习-----好资料解：因为红球是白球的 3倍多2只，每次取15只，最后剩下 53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩 51只.因为白球每次取 7只，最后剩下 3只，所以对 3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只.因此.共取了（51-3×3）÷（7×3-15）＝7（次）.红球有15×7＋53＝158（只）.白球有7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多 158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多 106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比 .实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙=2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题 .加33张，他们两人取的画片一样多 .问这些画片有多少张？答：这些画片有 261张.更多精品文档学习-----好资料解：设最初的水量是 1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有 8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题 .“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算 .这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些 .例20 有两堆棋子， A堆有黑子350个和白子 500个，B堆有黑子堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（ 40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持 3∶1的比.更多精品文档学习-----好资料现在A堆已有黑子 350＋100＝450个），与已有白子 500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是 25×3＝75（个）.答：从B堆拿出黑子 175个，白子 25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）=40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝1160（人）.答：高、初中毕业生共 1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.更多精品文档学习-----好资料例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是 1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的 .为了统一计算单位，设定钢笔的价格为每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.更多精品文档学习-----好资料作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比” .用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（17