力学第1章质点运动学矢量

矢

量矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示

r

。一、矢量与标量标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通的代数运算法则。矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行四边形法则。二、矢量的基本概念手写时在字符上加一箭号表示。rr矢量的几何表示法：用一带箭头的有向线段表示量。矢

量r矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，记为

r

或r单位矢量:

模为

1

的矢量称为单位矢量，用于表示方向,常用r0

表示。r负矢量：一矢量的负矢量与该矢量大小相等，方向相反。A矢量相等：两矢量大小相等，方向相同，则两矢量相等。（即使他们不在同一起点上。）B记为

B

=

AAB记为

B

=

-A(一)矢量加法服从平行四边形法则，合矢量是平行四边形的对角线。rArC记为C

=

A

+

Br

r

r对矢量加法有：交换律r

r

r结合律(A

+B)+C

=A

+(B

+C)rA

+rB=rB

+rAr

r(二）矢量的减法A

-

B

=

A

+

(-B)r

r

r

rr

r

定义为：加上B

矢量的负矢量。A

-

BrABB也可以用三角形表示BrrCrA矢量的加法与减法矢量与数量相乘：记为C

=

m

Ar

rr

=

r

r0r

rrrr0r任意矢量的单位矢量也可以表示为：rrr0

=rr矢量的数乘定义为：

C

=

m

Ar

rr当m小于0时，C与A方向相反。利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的模与该矢量方向上的单位矢量的乘积。r当m大于0时,rC

与A

方向相同。r矢量的正交分解YXxθx=

r

cosθy=

r

sin

θ规定：沿x轴的单位矢量r记为：ir

rr根据矢量加法r0riyr

rj沿y轴的单位矢量r

=

r(cosq

i

+

sinq

j)

=

rr0r记r为：jr

=

xi

+

yjr

=

r

cosrq

i

+

r

sinq

jr

r22rr的模等于r

=

x

+

yrr

rrr的单位矢量r0

=

cosq

i

+

sinq

jYy1yy2r1r2rr1

=

x1i

+

y1

j设两矢r量rrr2

=

x2i

+

y2

jr

rrr

=

r1

+

r2r

两矢r

量r之和可以表示为采用矢量的解析表示法后，矢量的加减运算转变成为对矢量的对应分量的加减运算。0

x2

x1

x

Xr

=

x

i

+

y

j

+

z

k在三维直角r

坐标系r的情况下r矢量有三个分量：r=

(x1

+

x2

)i

+

(

y1

+

y2

)

jr

rx=rcosαy=rcosβz=rcosγ如果已知的是矢量的大小和方向则：其中αβγ是r矢量分别与x、y、z轴所成的夹角。则：XYZxyzr这时r

矢量也可以表示成为：+

c

o

s

b

j

+

c

o

s

g

k

)rrr

=

r

(

c

o

s

a

irr矢量的乘法物理学中用到的矢量的乘法还有点乘和叉乘（一）矢量的点乘：F

•

S

=

F

S

cosqr

r

r

rFrSq点乘的积称为标积或数量积。F

•

S

=

S

•

Fr

rrr矢量点乘的性质：r达最大值。Fr

•

S

=

0rF

•rS

=

FS两矢量相互垂直时，点积为0。(

A

+

B)

•C

=

A

•C

+

B

•Cr

rr

r

r

r

r当θ=0时当θ=π/2时交换律分配律(4)结合律r

r

r

r(A

•B)l

=A

•(Bl),l为一实数rr1

=

x1

i

+

y

1

j

r2

=

x

2

i

+

y

2

j例r设在直角坐r

标系中的r两个矢r量分别为：r试证明：r1

•

r2

=

x1

x2

+

y1

y2r

r解：r1

•

r2

=

(x1i

+

y1

j

)

•

(x2

i

+

y2

j

)r

r

r

rr

rr

r

r

r

r

r

r

r=

x1i

•

x2i

+

x1i

•

y2

j

+

y1

j•

x2

i

+

y1

j

•

y2

j

)=

x1

x2

+

y1

y2（二）矢量的叉乘M

=

r

·

Fr记为：rθrFMr与F两个矢量r的叉乘定义为一个新的矢量M方向：垂直于r与F

所构成的平r面，指向由右手定则决定。大小：r

Fsinθ

即r与F所构成的平行四边形的面积。当θ=0

时（两矢量平行时）M=0

矢量积最小。r

·

F

=

-F

·

r当θ=π/2时

M=FS

矢量积最大注意：交换r律对矢量的叉乘不成r

立。矢量导数（一）矢量函数r

rA

=

A(t)直角坐标系中，可表述为rA（t）＝A（xrt）

i＋A（yr

rt）

j＋A（z

t）k其中A（x

t）、A（y

t）、A（y

t）是变量t的标量函数。记作如果对于标量变量t的每一数值都

相应地存在变矢量

A的一个确定的矢量，则称矢量A

是标量变量t的矢量函数，（二）矢量函数的导数limdA(t)

dtDt

fi

0DA

A(t

+

Dt)

-

A(t)Dt

Dt==

limDt

fi

0rDArA(t)rA(t

+

Dt)dAdtDtrDA方向：沿A(t)矢端曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。大小：limDt

fi

0重要特征：即使矢量的模不改变而仅仅方向改变，矢量的增量也不等于零。导数也不为零。dAdtr

r

rA

•=0或A

•dA＝0xkdA(t)

dA

(t)dt

dt

dtdt=j

+dAz

(t)

rri

+dAy

(t)

r导数的正交分解形式：（三）矢量函数求导的法则2.3.4.dtdtdtddt

dtdtddt

dtdtddtdtdtdt1.

d

(

A

+

B)

=+(

A

•B)

=

dA

•B

+

A

•