华科线性代数复习重点

....第一部分队列式要点：1．摆列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）2．队列式按行（列）睁开法例（P.21例13；P.28第9题）3．队列式的性质及队列式的计算（P.27第8题）【主要容】1、队列式的定义、性质、睁开定理、及其应用——克莱姆法例2、摆列与逆序3、方阵的队列式4、几个重要公式：（1）AAT；（2）A11；（3）kAknA；A（4）A*n1A0A*A；（5）ABAB；（6）B0AB；*BnA，ijnA，ij（7）aijAij；（8）aijAij，ij，iji10j10（此中A,B为n阶方阵，k为常数）5、队列式的常有计算方法：（1）利用性质化队列式为上（下）三角形；2）利用队列式的睁开定理降阶；3）依据队列式的特色借助特别队列式的值【要求】1、认识队列式的定义，熟记几个特别队列式的值。2、掌握摆列与逆序的定义，会求一个摆列的逆序数。3、能娴熟应用队列式的性质、睁开法例正确计算3-5阶队列式的值。4、会计算简单的n阶队列式。5、知道并会用克莱姆法例。.........第二部分矩阵1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3．陪伴阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4．矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）【主要容】1、矩阵的观点、运算性质、特别矩阵及其性质。2、方阵的队列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、n阶矩阵A可逆A0A为非奇怪(非退化)的矩阵。R(A)nA为满秩矩阵。AX0只有零解AXb有独一解A的行（列）向量组线性没关A的特色值全不为零。A能够经过初等变换化为单位矩阵。A能够表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其两者之间的关系。6、矩阵秩的观点及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、认识矩阵的定义，熟习几类特别矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，陪伴矩阵，正交矩阵）的特别性质。2、熟习矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法例，会求方阵的队列式。3、熟习矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的观点，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的观点，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判断，带参数的方程组的解的判断2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要容】.........1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A：1,2,,n，向量组B：1,2,,m，则（1）向量b可被向量组A线性表示R(1,2,,n)R(1,2,,n,b)（2）向量组B可被向量组A线性表示R(1,2,,n)R(1,2,,n,1,2,,m)（3）向量组A与向量组B等价的充分必需条件是：R(1,2,,n)R(1,2,,m)R(1,2,,n,1,2,,m)（4）基此题型：判断向量b或向量组B能否可由向量组A线性表示？假如能，写出表达式。解法：以向量组A：1,2,,n以及向量b或向量组B:1,2,,m为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最后判定。2、向量组的线性有关性鉴别向量组1,2,,s的线性有关、线性没关的常用方法：方法一：（1）向量方程k11k22kss0只有零解向量组1,2,,s线性无关；（2）向量方程k11k22kss0有非零解向量组1,2,,s线性有关。方法二：求向量组的秩R(1,2,,s)1）秩2）秩

R(1,2,,s)小于个数s向量组1,2,,s线性有关R(1,2,,s)等于个数s向量组1,2,,s线性没关。（3）特其余，假如向量组的向量个数与向量的维数同样，则向量组线性没关以向量组1,2,,s为列向量的矩阵的队列式非零；向量组线性有关以向量组1,2,,s为列向.........量的矩阵的队列式为零。3、向量组的极大没关组的观点（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基此题型：判断向量组的有关性以及求出向量组的极大没关组。4、等价向量组的定义、性质、判断。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的观点，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性有关、线性没关的定义，并会判断一个详细向量组的线性有关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个详细向量组的秩及其极大没关组。4、认识向量空间及其基和维数的观点第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间能够互相变换）1．向量组的线性表示2．向量组的线性有关性3．向量组的秩【主要容】1、齐次线性方程组Ax0只有零解系数矩阵A的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组Ax0有非零解系数矩阵A的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组Axb无解增广矩阵B(A,b)秩系数矩阵A的秩；4、非齐次线性方程组Axb有解增广矩阵B(A,b)秩系数矩阵A的秩特别地，1）增广矩阵B(A,b)的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组Axb有独一解；2）增广矩阵B(A,b)的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组Axb有无量多解。【要求】.........1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟习非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分方阵的特色值及特色向量1．施密特正交化过程2．特色值、特色向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相像对角化，特别是对称阵的相像对角化（P.135第15、16、19、23题）【主要容】1、向量的积、长度、夹角等观点及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特色值与特色向量的观点及其计算方法。（1）特色值求法：解特色方程AE0；（2）特色向量的求法：求方程组AEX0的基础解系。5、相像矩阵的定义（P1APB）、性质(A,B相像R(A)R(B)、AB、A,B有同样的特色值)。6、判断矩阵能否能够对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得P1AP为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）1）写出二次型的矩阵A.2）求出A的所有特色值1,2,,n（3）解方程组(iEA)X0（i1,2,,n）求对应于特色值1,2,,n的特色向量.........1,2,,n（4）若特色向量组1,2,,n不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组1,2,,n，记P(1,2,,n)，对二次型做正交变换xPy,即得二次型的标准形f1y122y22nyn28、正定二次型的定义及其判断方法常用判断二次型正定的方法：（1）定义法（2）特色值全大于零（3）次序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性没关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特色值、特色向量的观点、求法，3、认识相像矩阵的观点、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的观点、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的观点及其判断方法。线性代数要注意的知识点1、队列式n队列式共有n2个元素，睁开后有n!项，可分解为2n队列式；代数余子式的性质：①、A和aij的大小没关；ij②、某行（列）的元素乘以其余行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij队列式的重要公式：①、主对角队列式：主对角元素的乘积；n(n1)②、副对角队列式：副对角元素的乘积(1)2；③、上、下三角队列式（◥◣）：主对角元素的乘积；n(n1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；⑤、拉普拉斯睁开式：AOACAB、CAOA(1)mnABCBOBBOBC.........⑥、德蒙队列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特色值5.证明A0的方法：①、AA；②、反证法；③、结构齐次方程组Ax0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)n；⑤、证明0是其特色值；2、矩阵A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇怪矩阵）；r(A)n（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性没关；齐次方程组Ax0有非零解；bRn，Axb总有独一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特色值全不为0；T是正定矩阵；nAAA的行（列）向量组是R的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；6.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒建立；7.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1矩阵是表格，推导符号为波涛号或箭头；队列式是数值，可求代数和；9.对于分块矩阵的重要结论，此中均A、B可逆：A1若AA2，则：AsⅠ、AA1A2As；A11Ⅱ、A1A21；As1AO②、OBOA③、BOAC④、OBAO⑤、CB

11OAOB11B1OA1O11A1CB1AOB11A1OB1CA1B1.........3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是独一确立的：ErOF；OOmn等价类：所有与A等价的矩阵构成的一个会合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；行最简形矩阵：①、只好经过初等行变换获取；②、每行首个非0元素一定为1；③、每行首个非0元素所在列的其余元素一定为0；初等行变换的应用：（初等列变换近似，或转置后采纳初等行变换）①、若(A,E)r1；(E,X)，则A可逆，且XA②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变为A1B，即：(A,B)c(E,A1B)；rA1b；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，假如(A,b)(E,x)，则A可逆，且x初等矩阵和对角矩阵的观点：①、初等矩阵是行变换仍是列变换，由其地点决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；n111③、对换两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，比如：11；11111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i(11))，比如：k1；kk(k0)11⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：1k1k111(k0)；11矩阵秩的基天性质：①、0r(Amn)min(m,n)；②、r(AT)r(A)；③、若AB，则r(A)r(B)；④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）⑧、假如A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）Ⅰ、B的列向量所有是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；.........Ⅱ、r(A)r(B)n⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；三种特别矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：必定能够分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采纳联合律；1ac②、型如01b的矩阵：利用二项睁开式001③、利用特色值和相像对角化：陪伴矩阵：nr(A)n①、陪伴矩阵的秩：r(A*)1r(A)n1；0r(A)n1②、陪伴矩阵的特色值：A(AXX,A*AA1A*XAX)；③、A*AA1、A*An1对于A矩阵秩的描绘：①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式所有为0；（两句话）②、r(A)n，A中有n阶子式所有为0；③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb，此中A为mn矩阵，则：①、m与方程的个数同样，即方程组Axb有m个方程；②、n与方程组得未知数个数同样，方程组Axb为n元方程；线性方程组Axb的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只好使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：a11x1a12x2a1nxnb1①、a21x1a22x2a2nxnb2；am1x1am2x2anmxnbna11a12a1nx1b1②、a21a22a2nx2b2（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知Axbam1am2amnxmbm数）x1b1③、a1aanx2（所有按列分块，此中b2）；2xnbn④、a1x1a2x2anxn（线性表出）⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）.........4、向量组的线性有关性1.m个n维列向量所构成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；T1Tm个n维行向量所构成的向量组B：1T,2T,,mT构成mn矩阵B2；Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性有关、没关Ax0有、不过零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axb能否有解；（线性方程组）③、向量组的互相线性表示AXB能否有解；（矩阵方程）3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必需条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)4.r(ATA)r(A)；(P101例15)n维向量线性有关的几何意义：①、线性有关0；②、,线性有关,坐标成比率或共线（平行）；③、,,线性有关,,共面；线性有关与没关的两套定理：若1,2,,s线性有关，则1,2,,s,s1必线性有关；若1,2,,s线性没关，则1,2,,s1必线性没关；（向量的个数加加减减，两者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个重量，构成n维向量组B：若A线性没关，则B也线性没关；反之若B线性有关，则A也线性有关；（向量组的维数加加减减）简言之：没关组延伸后仍没关，反之，不确立；向量组向量组向量组

（个数为rA能由向量组能由向量组

）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性没关，则rs；B线性表示，则r(A)r(B)；B线性表示AXB有解；r(A)r(A,B)向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；r①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解c②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B对于矩阵Amn与Bln：①、若A与B行等价，则②、若A与B行等价，则

PAQB（P、Q可逆）；A与B的行秩相等；Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组拥有同样的线性有关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若AmsBsnCmn，则：.........①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组Bx0的解必定是ABx0的解，考试中能够直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx0只有零解②、Bx0有非零解

Bx0只有零解；ABx0必定存在非零解；12.设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,