用曲线积分求旋转曲面的面积

用曲线积分求旋转曲面的面积1第1页，课件共24页，创作于2023年2月

作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。2第2页，课件共24页，创作于2023年2月先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3第3页，课件共24页，创作于2023年2月

设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。

我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4第4页，课件共24页，创作于2023年2月L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y

（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：5第5页，课件共24页，创作于2023年2月命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L6第6页，课件共24页，创作于2023年2月命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L7第7页，课件共24页，创作于2023年2月下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转曲面的面积公式8第8页，课件共24页，创作于2023年2月直角坐标方程9第9页，课件共24页，创作于2023年2月y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：10第10页，课件共24页，创作于2023年2月y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：11第11页，课件共24页，创作于2023年2月参数方程12第12页，课件共24页，创作于2023年2月如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：13第13页，课件共24页，创作于2023年2月如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：14第14页，课件共24页，创作于2023年2月极坐标方程15第15页，课件共24页，创作于2023年2月如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：16第16页，课件共24页，创作于2023年2月我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

17第17页，课件共24页，创作于2023年2月L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心18第18页，课件共24页，创作于2023年2月如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心19第19页，课件共24页，创作于2023年2月下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20第20页，课件共24页，创作于2023年2月

设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。

将L绕直线

l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。

我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21第21页，课件共24页，创作于2023年2月L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线

l的距离是：该弧微分绕

l旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线

l旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线l的方程为ax+by+c=0。l22第22页，课件共24页，创作于2023年2月命题3曲线L绕直线

ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll23第