离散数学教学代数系统

离散数学教学代数系统第1页，课件共25页，创作于2023年2月近世代数—第七章代数系统§7.1代数系统的引入前言

§7.2运算及其性质结束第2页，课件共25页，创作于2023年2月前言为什么要研究代数系统？

代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作。它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物。

在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构。现实世界中可以有许多具体的不相同的代数系统。但事实上，不同的代数系统可以有一些共同的性质。正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有某一类具体代数系统共同拥有的性质。任何在这个抽象系统中成立的结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个。第3页，课件共25页，创作于2023年2月抽象代数学在计算机中的应用代数学历史悠久。代数的发展可分成两个阶段。19世纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为近世代数（抽象代数）。抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物为研究对象。因此其研究成果适用于这一类事物中的每一个，从而收到事半功倍之效。抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系统中。第4页，课件共25页，创作于2023年2月抽象代数学在计算机中的应用抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数，特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关于计算规则的学问。在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统：半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代数知识。第5页，课件共25页，创作于2023年2月学习本章的方法

1、要按照数学的思维方式学习,即观察客观世界,抽象出模型,再分析、推理揭示内在规律的过程。

2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上,还体现在相应运算的抽象上,是在最纯粹的形式下研究代数结构中的运算的规律与性质,从运算的角度来考虑代数结构中的元素。因此,初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。

3、教材的基本思路是：首先严格定义什么是代数结构,并讨论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构,并对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的各种关系,通过对代数结构之间关系的研究,就可以把一个代数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。第6页，课件共25页，创作于2023年2月学习本章的方法4、结合具体例子与应用来理解抽象代数的概念与结论,特别是“抽象”的概念,在理解的基础上熟悉基本概念与重要结论,掌握基本推理方法,领会抽象代数的研究方法,并尝试去解决具体问题。

5、抽象代数以代数结构为研究对象，集合论是研究代数结构的基础。而群是抽象代数所研究的最为重要、最为基础的代数结构,也是抽象代数部分的学习重点,学习好群的相关知识,习惯了代数的“抽象”思维,环、域的学习也就相对容易了。

6、阅读教材、课堂听讲、反复思考,并独立完成一定数量的习题,只有如此,才能理解抽象代数的概念,掌握有关理论,从而提高分析问题的能力。第7页，课件共25页，创作于2023年2月§7.1代数系统的引入

代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体）和定义在集合上的运算构成。注：①载体一般是非空集合，②定义在载体上的n元运算是一个从An到B的映射。

例：１）取整[X]，求绝对值|X|，是一元运算２）+,X是二元运算,３）ifx<y

and

y<zthenｕ是三元运算例：整数集，实数集，符号串集合等。第8页，课件共25页，创作于2023年2月§7.2运算及其性质

一、二元运算1、运算封闭性：若x，y∈A，有x*y∈A，称*在A上是封闭的例：A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，x>运算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？

解：2r，2s∈A，2rx

2s=2r+s∈A（ｒ＋ｓ∈Ｎ）∴<A，x>运算封闭2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭2，4∈A，2/4A，∴<A，/>运算不封闭第9页，课件共25页，创作于2023年2月2、结合律

证：a，b，c∈A，

a*（b*c）=a*c=c(a*b）*c=b*c=c∴a*（b*c）=（a*b）*c

∴*满足结合律已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z）=（x*y）*z，称*满足结合律。例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b证明：*满足结合律§7.2运算及其性质第10页，课件共25页，创作于2023年2月3、交换律已知<A，*>，若x，y∈A，有x*y=y*x，称*满足交换律。例：设<有理数集，*>,*定义如下：

a*b=a+b-ab，问*满足交换律否？证：∵a，b∈A，

a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a∴*满足交换律。§7.2运算及其性质第11页，课件共25页，创作于2023年2月设<A，*，△>，若x，y，z∈A有:x*(y△z)=（x*y）△（x*z）;(y△z)*x=(y*x)△(z*x)称运算*在△上可分配例：设A={，}，二元运算*，△定义如左:*

△

问分配律成立否？

①

证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z)

证：当x=：x△(y*z)=;(x△y)*(x△z)=

当x=：x△(y*z)=y*z;(x△y)*(x△z)=y*z注:若找不到规律,对该例则应用8个式子进行验证。②、运算*对运算△不可分配证：∵*（△）=*=（*）△（*）=△=

§7.2.1运算及其性质4.分配律第12页，课件共25页，创作于2023年2月例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},x△y=min{x，y}

证明：x，y∈N，

x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=xx≥y

=x∴*满足吸收律xx<yx△（x*y）=min{x，max{x，y}}=xx≥y

=x∴△满足吸收律xx<y§7.2.1运算及其性质

5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有:

x*(x△z)=x称运算*满足吸收律;

x△(x*y)=x；运算△满足吸收律

试证：*，△满足吸收律第13页，课件共25页，创作于2023年2月已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x则称*满足等幂律

例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉,则∪,∩满足吸收律，等幂律

§7.2运算及其性质6.等幂律第14页，课件共25页，创作于2023年2月§7.2运算及其性质二、么元（单位元）和零元1、定义:设*是s上二元运算，er，eI，r，ｌ，e，s

，有①.若xs，有el*x=x，称el为运算*的左么元若xs，有x*er=x，称er为运算*的右么元

②.若xs，有l*x=l

，称l为运算*的左零元若xs，有x*r=r，称r为运算*的右零元③.

若xs，有e*x=x，x*e=x称e为运算*的么元若xs，有*x=x*=

，称为运算*的零元

第15页，课件共25页，创作于2023年2月例：代数A=〈{a，b，c}，。

〉用下表定义：。abcaabbbabccaba则b是左么元，无右么元,

a是右零元，b是右零元，无左零元;二、么元（单位元）和零元运算。既不满足结合律，也不满足交换律。

第16页，课件共25页，创作于2023年2月例:

a）〈I，x〉，I为整数集则么元为1，零元为0

二、么元（单位元）和零元b）〈（s）,∪,∩〉对运算∪，是么元，s是零元，对运算∩，s是么元，是零元。c）〈N，+〉有么元0，无零元。第17页，课件共25页，创作于2023年2月2、性质①、Th1:

设*是s上的二元运算，满足结合律，具有左么元el，右么元er，则el=er=e证明：er

=

el*er=

el二、么元（单位元）和零元推论：二元运算的么元若存在则唯一

证明：反证法：设有二个么元e，e’

；则e=e*e’=e’②、Th2:

设*是s上的二元运算，具有左零元ol，右零元or，则ol=or=o

推论：二元运算的零元若存在则唯一第18页，课件共25页，创作于2023年2月三、

逆元1、逆元定义设*是s上的二元运算，e是运算*的么元

§7.2运算及其性质①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是

x的右逆元②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆元通常记为y-1，存在逆元(左逆无，右逆元）的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）第19页，课件共25页，创作于2023年2月例：

a)、代数〈N，+〉中仅有么元0，有逆元0，〈R，*〉中，除零元0外所有元素均有逆元

b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义：

*abcaaabbabccaccb是么元,a的右逆元为c，无左逆元，b的逆元为b，c的右逆元为空，左逆元为a三、

逆元第20页，课件共25页，创作于2023年2月d）A={〈0，1，2，…，k-1〉，×k}

模k乘法×k定义如下：

x×ky=x·y