电路原理第七章一阶电路

电路原理第七章一阶电路1第1页，课件共60页，创作于2023年2月含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti电阻电路下页上页返回过渡期为零定性分析动态电路的过渡过程：2第2页，课件共60页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后一段时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路下页上页返回CK+–uCUsRi

(t=∞)3第3页，课件共60页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态第二个稳定状态t1USuct0i有一过渡期第三个稳定状态K+–uCRCi

(t=

t2)下页上页返回CK+–uCUsRi

(t=

t2)t24第4页，课件共60页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)电感电路下页上页返回5第5页，课件共60页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=uL=0,i=Us/RK断开瞬间K+–uLUsRLi+–uLUsRLi

(t→)注意工程实际中的过电压过电流现象(P144例7-2)下页上页返回6第6页，课件共60页，创作于2023年2月过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化下页上页返回7第7页，课件共60页，创作于2023年2月应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：+–uCus（t）RCi

(t>0)2.动态电路的方程下页上页返回有源电阻电路一个动态元件一阶电路8第8页，课件共60页，创作于2023年2月+–uLus（t）RLi

(t>0)应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页返回9第9页，课件共60页，创作于2023年2月一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；下页上页返回10第10页，课件共60页，创作于2023年2月（2）求解微分方程下页上页返回动态电路分析的步骤（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程11第11页，课件共60页，创作于2023年2月

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时刻动态元件的u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)下页上页返回在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。连续函数12第12页，课件共60页，创作于2023年2月t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论下页上页返回13第13页，课件共60页，创作于2023年2月当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论下页上页返回14第14页，课件共60页，创作于2023年2月L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定则（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。下页上页返回15第15页，课件共60页，创作于2023年2月（5）电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1t=0时，断开K求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代下页上页返回16第16页，课件共60页，创作于2023年2月求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页返回17第17页，课件共60页，创作于2023年2月iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求由换路定律:电感用电流源替代10V14解电感短路下页上页返回18第18页，课件共60页，创作于2023年2月iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：下页上页返回19第19页，课件共60页，创作于2023年2月例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合后瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：iL2+-48V32+－uC下页上页返回20第20页，课件共60页，创作于2023年2月iL+200V-LK100+uC100100C－例5求K闭合瞬间流过它的电流值。解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路1A+200V-100+100V100100－+uL－iC下页上页返回21第21页，课件共60页，创作于2023年2月7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0＋)=U0特征根特征方程RCp+1=0则

uR=Ri零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCR下页上页返回22第22页，课件共60页，创作于2023年2月代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0下页上页返回23第23页，课件共60页，创作于2023年2月tU0uC0令=RC,称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态(U0/I0)成线性关系， 其衰减快慢与RC有关；下页上页返回I0ti024第24页，课件共60页，创作于2023年2月时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短电压初值不变：R大（C不变）

i=u/R

储能不变，放电电流小放电时间长U0tuc0小大C大（R不变）

W=Cu2/2

储能大,放电电流不变物理含义：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

25第25页，课件共60页，创作于2023年2月＝t2－t1

在曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间为零值。

下页上页返回几何意义ucU0t0t1t2Uc(t1)Uc(t2)a26第26页，课件共60页，创作于2023年2月（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C下页上页返回27第27页，课件共60页，创作于2023年2月例1已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC265F－i2i1+uC45F－i1t>0等效电路分流得：下页上页返回28第28页，课件共60页，创作于2023年2月例2已知图示电路，开关S合在位置1时电路已经达到稳定状态，t=0时刻开关由位置1合向位置2，试求t≥0＋时的电流i(t)。（P146例7-3）解(1)求初始条件uC(0+)＝uC(0－)＝6V(2)换路后电路的响应为零输入响应，其电容以外电路的等效电阻可用外施电源法求得。Req＝－u/i=1(3)求时间常数：τ＝Req×C＝0.25SuC(t)＝uC(0＋)e-t/τ

＝6e-4tVi(t)＝CduC/dt＝－6e-4tA9Vi+6－2i0.25F263+－21i+6－2i2u－＋i2i129第29页，课件共60页，创作于2023年2月2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR下页上页返回30第30页，课件共60页，创作于2023年2月-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；下页上页返回31第31页，课件共60页，创作于2023年2月令=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2初始能量大,放电功率不变R小

P=Ri2初始能量不变，放电功率小大放电慢大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R电流初值i(0)一定：下页上页返回32第32页，课件共60页，创作于2023年2月（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR下页上页返回33第33页，课件共60页，创作于2023年2月iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V下页上页返回34第34页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL212t>0iL+–uLR下页上页返回35第35页，课件共60页，创作于2023年2月小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性响应。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路=RC

,

RL电路=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路下页上页返回36第36页，课件共60页，创作于2023年2月动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解下页上页返回37第37页，课件共60页，创作于2023年2月与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由初始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解下页上页返回38第38页，课件共60页，创作于2023年2月-USuC”uC’USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+下页上页返回39第39页，课件共60页，创作于2023年2月（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页返回40第40页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V下页上页返回41第41页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求t>0时的uc(t)和ic(t)。解(1)换路后的电路有激励源，无初始储能，所以为零状态响应问题。K10K+uC10k5k10μF－+－20V先把电容左边的一端口网络用戴维宁电路等效。10k10F+-10V+－uC42第42页，课件共60页，创作于2023年2月2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00下页上页返回43第43页，课件共60页，创作于2023年2月iLK+–uLLIsR电流源为激励RL电路的零状态响应为：iLK(t=0)US+–uRL+–uLR44第44页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0下页上页返回45第45页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K打开，求t>0时的uL(t)和电压源发出的功率。解(1)换路后的电路有激励源，无初始储能，所以为零状态响应问题。iLK+–uL2H32A25+–10Vi先把电感左边的一端口网络用戴维宁电路等效。10+-14ViL+–uL2H46第46页，课件共60页，创作于2023年2月7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1.全响应全响应特解uC'=US齐次通解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A下页上页返回47第47页，课件共60页，创作于2023年2月2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态分量)+自由分量(暂态分量)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回基于U0<Us的假定48第48页，课件共60页，创作于2023年2月iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算下页上页返回49第49页，课件共60页，创作于2023年2月零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回50第50页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解1这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页返回51第51页，课件共60页，创作于2023年2月求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4下页上页返回解2全响应：52第