最短路径问题经典课件

两点之间,线段最短

我们把研究关于“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.新课引入问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl13.4最短路径问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：BAl如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.lABCB（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l的异侧呢？

（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC(利用轴对称找点)lABCB′如图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.ABABB′C你能证明为什么点C即为所求吗？

作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，

AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+BC′，即AC+BC最小．AlBCB′C′证明：如图.问题1归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题BAl新知1运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.归纳：问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：你能将这个问题抽象为数学问题吗？

aBAbMN分析：可以把河岸看成两条平行线a和b，N为直线b上一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为：

当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河宽固定，因此AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）分析：lABCaBAbMNA'如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：你能证明吗？最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.证明：aBAbMNA'N′M′最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）问题2归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）新知2利用平移确定最短路径选址

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）

1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）2.最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）（1）作AB的中垂线交l于点C，如图.解：lABC（2）如图.A’C3.最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）

4.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。M’P最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）5.如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，应如何建？

利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋BC＋CA最小.解析：解：

①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；

②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.mnAA1A2BC由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，∴AB＋BC＋CA最小.最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件（PPT优秀课件）小结归纳lABClAB