(通用版)2021高考数学二轮复习第二篇第18练概率与统计的综合问题课件文

第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第18练概率与统计的综合问题[中档大题标准练]明晰考情1.命题角度：概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点.2.题目难度：中档难度.核心考点突破练栏目索引模板答题标准练考点一古典概型与几何概型要点重组(1)古典概型的两个特征①试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；②每个根本领件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.核心考点突破练1.A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小一样的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.(1)用有序数对(i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球〞，试写出所有可能的事件；解答解甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种不同的情况.(2)甲、乙两人玩游戏，约定规那么：假设甲抽到的小球的标号比乙大，那么甲胜；反之，那么乙胜.你认为此游戏是否公平？请说明理由.解答解甲抽到的小球的标号比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6种情况，2.集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y).(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；解答解集合M内的点形成的区域面积S＝8.(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于

的概率.解答即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影局部(含边界)所示，阴影局部面积S2＝4，3.关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.(1)假设a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率；解答解设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根〞；事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根〞.由题意知，根本领件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4＞0，得a2＋b2＞4.事件A要求a，b满足条件a2＋b2＞4，包含6个根本领件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，那么事件A发生的概率为P(A)(2)假设a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求方程有实数根的概率.解答解a，b的取值所构成的区域如下图，其中0≤a≤3,0≤b≤2.构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a2＋b2≥4}(如图中阴影局部(含边界))，考点二统计与古典概型的综合方法技巧概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，解题中首先要把数据分析清楚，明确频率可近似替代概率，抽象得到古典概型.把握根本领件的构成要素.4.(2021·东莞模拟)近几年来，“精准扶贫〞是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以开展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进展回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数x(户)与扶贫后脱贫家庭数y(户)的数据关系如下：解答政府扶贫资金数(万元)3579政府扶贫贫困家庭数x(户)204080100扶贫后脱贫家庭数y(户)10307090(1)求几年来该地依靠“精准扶贫〞政策的脱贫率是多少？(答案准确到0.1%).解几年来该地依靠“精准扶贫〞政策的脱贫率是P＝×100%≈83.3%.(2)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.解答解由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为A，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B1，B6)，(B1，B7)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B2，B6)，(B2，B7)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B3，B6)，(B3，B7)，(B4，B5)，(B4，B6)，(B4，B7)，(B5，B6)，(B5，B7)，(B6，B7)，共28种，符合题意的情况有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，共7种，故所求概率为以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.5.(2021·全国Ⅲ)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；解答解这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为

＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.解答(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，假设最高气温不低于25，那么Y＝6×450－4×450＝900；假设最高气温位于区间[20,25)，那么Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；假设最高气温低于20，那么Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.6.(2021·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：解答(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；解根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；解答解根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.(3)样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解答解由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.考点三古典概型与统计案例方法技巧(1)回归分析和概率的交汇问题，要明确所给数据的作用，抽象出随机事件和古典概型；回归分析问题解决的关键是找到样本点，确定回归类型和回归方程.(2)独立性检验与古典概型的综合问题，要明确所要研究的分类变量，根据数据正确编制列联表，然后通过K2公式计算并利用参考数据得到结论.7.(2021·惠州模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进展研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：解答日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25〞的概率；解所有的根本领件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个.设“m，n均不小于25〞为事件A，那么事件A包含的根本领件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个，故由古典概型概率公式得P(A)＝(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，那么认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程，并判定所得的线性回归方程是否可靠？解答且当x＝10时，y＝22，|22－23|<2；当x＝12时，y＝27，|27－26|<2；当x＝8时，y＝17，|17－16|<2.∴所得到的线性回归方程是可靠的.8.(2021·马鞍山质检)某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：年龄段(岁)20～2930～3940～4950～60频数1218155经常使用多媒体教学61251解答(1)由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？

年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用多媒体教学

不常使用多媒体教学

总计

P(K2≥k0)0.250.150.100.0500.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解根据所给数据可得如下2×2列联表：

年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用多媒体教学18624不常使用多媒体教学121426总计302050∴有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异.(2)假设采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30～39岁的概率.解由题意，得抽取6人，20～29岁有2人，分别记为A1，A2；30～39岁有4人，分别记为B1，B2，B3，B4；那么抽取的结果共有15种：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，设“至少有1人年龄在30～39岁〞为事件A，那么事件A包含的根本领件有14种，解答模板答题标准练模板体验典例(12分)(2021·全国Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数13249265(1)在右图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)审题路线图标准解答·评分标准解(1)4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，

8分因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.10分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分构建答题模板[第一步]

审数据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等；[第二步]

画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图；[第三步]

估分布：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征.1.某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如下图的转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；标准演练解答解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16.记“xy≤3〞为事件A，那么事件A包含的根本领件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解答解记“xy≥8〞为事件B，“3＜xy＜8〞为事件C.那么事件B包含的根本领件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).事件C包含的根本领件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.2.(2021·新余模拟)“一带一路〞是“丝绸之路经济带〞和“21世纪海上丝绸之路〞的简称.某市为了了解人们对“一带一路〞的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路〞知识竞赛，总分值100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如下图的频率分布直方图，第一组有6人.(1)求x；解答解根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5＝0.05，(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保存整数)；解答解设中位数为a，那么0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；解答②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路〞的认知程度.解答解评价：从平均数来看两组的认知程度一样，从方差来看年龄组的认知程度相对更稳定.3.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n名学生的成绩(总分值100分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答以下问题：解答(1)求频率分布直方图中a，b的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；所以10b＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.2，所以b＝0.02，平均成绩为0.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.(2)规定大赛成绩在[80,90)的学生为厨霸，在[90,100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.解答解由题意可知，厨霸有0.0150×10×40＝6(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有0.0075×10×40＝3(人)，分别记为b1，b2，b3，共9人，从中任意抽取2人共有36种情况：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)，(a6，b1)，(