知识点32矩形、菱形与正方形

一、选择题1.（2019广东深圳，12，3分）已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，E、F分别为AB，AD上的点，且BE=AF，则下列结论正确的有（）个．①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则=．A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【思路分析】【解题过程】在四边形ABCD是菱形，∵∠BAD=120°，∴∠B=∠BAC=60°，∴AC=BC，且BE=AF，∴△BEC≌△AFC，故①正确；∵△BEC≌△AFC，∴FC=EC，∠FCA=∠ECB，∴∠ECF=∠ACB=60°，∴△ECF为等边三角形，故②正确；∵∠AGE=180°－∠BAC－∠AEG；∠AFC=180°－∠FAC－∠ACF，∴∠AGE=∠AFC，故③正确；∵AF=1，则AE=3，易得△CFG∽△CBE，∴，△CEG∽△CAE，∴，∵CE=CF，AC=BC，∴=，∴，故④正确．故选D．【知识点】四边形多结论题；菱形的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定；2.（2019广西省贵港市，题号12，分值3分）如图，是正方形的边的中点，点与关于对称，的延长线与交于点，与的延长线交于点，点在的延长线上，作正方形，连接，记正方形，的面积分别为，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【答案】．【思路分析】根据勾股定理可判断；连接，作，易证得是等腰直角三角形，设，则，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到，，，，，即可证得，可判断；根据平行线分线段成比例定理可判断；求得可判断．【解题过程】解：正方形，的面积分别为，，，，在中，，，故结论正确；连接，点与关于对称，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，即，作于，是等腰直角三角形，，，，，，，设，则，，，，，，，，在中，，，，故结论正确；，，，，，故结论正确；，，，，，，作于，，，即，，，，故结论错误，故选：．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形3.（2019广西河池，T9，F3分）如图，在正方形中，点，分别在，上，，则图中与相等的角的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】．【解析】证明：四边形是正方形，，，，在和中，，，，，故图中与相等的角的个数是2．故选：．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质4.（2019贵州遵义，10，4分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得四边形叫做中点四边形，已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是（A)AC,BD相等且互相平分(B)AC,BD垂直且互相平分(C)AC,BD相等且互相垂直(D)AC,BD垂直且平分对角【答案】C【解析】由于中点四边形是正方形，正方形的对角线相等且垂直平分，根据中位线定理可证任意四边形的中点四边形都是平行四边形，所以原四边形的对角线AC,BD相等且互相垂直，故选C【知识点】三角形中位线定理，正方形的性质5.(2019黑龙江绥化,10题,3分)如图,正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x,当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是()①当x＝0(即E,A两点重合)时,P点有6个;②当0<x<时,P点最多有9个;③当P点有8个时,x＝;④当△PEF是等边三角形时,P点有4个.A.①③ B.①④ C.②④ D.②③第10题图【答案】B【思路分析】根据三角形的边的关系求出角度,在圆中求出扇形圆心角,阴影部分就是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积,分别算出各图形的面积,即可得到结果.【解题过程】①以点A,点F为圆心,EF长为半径作弧,与AB,AD共有4个交点,作EF的垂直平分线,与AB,AD有2个交点,共6个交点,故点P有6个,正确;②线段EF在线段AC上运动时,当点E或点F为AC的中点时,存在8个点,使△PEF为等腰三角形,不可能存在9个点,故错误;③由②知,点E为AC的中点时,x＝,点F为AC的中点时,x＝,故错误;④作AC的平行线,与AC的距离为,其与正方形有4个交点,故正确.故选B.【知识点】等腰三角形,正方形,等边三角形6.（2019湖北孝感，10，3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．135 B．125 C．195 【答案】A【解析】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，BC=CD∠BCE=∠CDF∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG=BC∴45=CG3∴GF＝CF﹣CG＝5-12故选：A．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数7.（2019湖北十堰，5，3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质8.（2019湖南郴州，8，3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）A．2 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即（6+x）2+（x+4）2＝102，整理得，x2+10x﹣24＝0，解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），∴x＝2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B．【知识点】数学常识；勾股定理；正方形的性质9.(2019内蒙古包头市，11题，3分)如图5，在正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=600，则CF的长是（）A.3+14 B.32 C.3-1【答案】C.【思路分析】连接AC，过F作FG⊥AC于G，先根据AB=1求出AC的长；设FG=k，用k表示出AC的长，列出关于k的【解题过程】解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=1，∠B=∠D=900，AC平分∠BAD，又∵AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).∴∠BAE=∠FAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=450，同理，∠ACD=∠ACB=450.∴∠CAF=∠CAE=12∠EAF=300过F作FG⊥AC于G，在Rt△ABC中，AC=AB2设GF=k，在Rt△AFG中，AG=FGtan∠在Rt△CGF中，∠ACD=450，∴CG=FG=k,∴CF=CG2∴AC=AG+CG=3k+k=2∴k=6-∴CF=2k=2故选C.【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，勾股定理.10.（2019宁夏，6，3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为四边形ABCD的两条对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项A可以判定四边形ABCD为菱形，因为有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以选项B可以判定四边形ABCD为菱形，因为对角线相等的平行四边形为矩形，所需选项C不能判定四边形ABCD为菱形，选项D，因为四边形ABCD为平行四边形，所以，所以，又因为，所以,所以，所以平行四边形ABCD为菱形，故选项D也可以判定四边形ABCD为菱形，故本题正确选项为C．【知识点】菱形的判定．11.（2019年陕西省，6，3分）如图，在Rt△ABC中，，，，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则的度数是（）．A．B．C．D．第6题图第6题图【答案】D【解析】因为，所以，所以，因为，所以，因为在Rt△CDB中，E是BC的中点，所以，所以．【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的性质．12.（2019年陕西省，8，3分）如图，在正方形ABCD中，．若以CD为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（）．A．B．C．D．第8题答图第8题答图第8题图【答案】C【解析】如图，连接BD，因为四边形ABCD为正方形，所以，，，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，因为所△DCE是等腰直角三角形，所以，所以，，在Rt△BDE中，由勾股定理得，．【知识点】正方形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理．13.（2019贵州省安顺市，9，3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）第9题图A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S第9题图C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝【答案】C第9题答图【思路分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED＝90°，CE＝DE，于是可判断∠DAE＝30°，∠D＝60°，从而得到∠ABC＝60°；利用AB＝2DE得到S△ABE＝2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，则可计算出CH＝CE＝1，EH＝CH＝，利用勾股定理可计算出BE＝2；利用正弦的定义得sin∠CBE＝＝．第9题答图【解题过程】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的说法正确；∵AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的说法正确；作EH⊥BC于H，如图，若AB＝4，在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，在Rt△BEH中，BE＝＝2，所以C选项的说法错误；sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的说法正确．故选：C．【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）；解直角三角形．14.(2019黑龙江大庆,6题,3分)下列说法中不正确的是()A.四边相等的四边形是菱形 B.对角线垂直的平行四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直且相等 D.菱形的邻边相等【答案】C【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分,不一定相等,故选C.【知识点】菱形的判定和性质15.（2019广西桂林，11，3分）将矩形按如图所示的方式折叠，，，为折痕，若顶点，，都落在点处，且点，，在同一条直线上，同时点，，在另一条直线上，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由折叠可得，，，，分别为，的中点，设，，则，，，，，中，，即，，即，，的值为，故选：B．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质16.（2019湖北荆州，5，3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AE＝CE，而OA＝OC，∴OE为∠AOC的平分线．故选：C．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；作图—基本作图17.（2019湖南邵阳，9，3分）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于A． B． C． D．【答案】B【解析】解：在中，，，．是斜边上的中线，，，，．将沿对折，使点落在点处，，．故选：B．【知识点】直角三角形斜边上的中线；翻折变换（折叠问题）18.（2019内蒙古赤峰，8，3分）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC=204=5，且O∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE=12CB故选：A．【知识点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质19.（2019四川泸州，10，3分）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，∵面积为28，∴12AC•BD＝2OD•AO＝28∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．【知识点】菱形的性质；勾股定理；菱形面积公式20.（2019四川省雅安市，10，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【思路分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．【解题过程】∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．【知识点】中点四边形；菱形的判定；三角形中位线4.25.26.27.28.29.6.37.38.39.二、填空题1.（2019广东深圳，15，3分）如图，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，点B的对应点刚好落在对角线AC上；将AD沿AF翻折，点D的对应点刚好落在对角线AC上，连接EF，则EF=____________．【答案】【解析】设点B的对应点是点G，点D的对应点是点H，作FM⊥AB于点M，由折叠可知，EG=EB=AG=1，∴AE=；AM=DF=FH=1，∴AB=FM=+1，EM=－1，∴EF===．【知识点】正方形折叠；正方形的性质；勾股定理2.（2019广西北部湾，16，3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=.【答案】.【思路分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，

∴BD=8.

∵S菱形ABCD=AC×BD=24，

∴AC=6，

∴OC=AC=3，

∴BC==5，

∵S菱形ABCD=BC×AH=24，

∴AH=.

故答案为．【知识点】菱形的性质；勾股定理；菱形面积公式.3.（2019贵州黔西南州，16，3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为．【答案】3【解析】解：由勾股定理得，BC=EC2-EB2=3故答案为：3．【知识点】勾股定理4.（2019贵州遵义，15，4分）如图，平行四边形纸片ABCD的边AB,BC的长分别是10cm和7.5cm,将其四个角向内对折后，点B与点C重合于点C’，点A与点D重合于点A’，四条折痕围成一个信封四边形EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF=cm.【答案】10【解析】∵折叠，∴∠BEH=∠FEH，同理∠AEG=∠FEG,∵∠BEH+∠FEH+∠AEG+∠FEG=180°，所以∠HEG=90°，同理∠FGE=∠HFG=90°，所以四边形EHFG是矩形，∴EF=GH.∵对折后，点B与点C重合于点C’，∴CH=C’H=BH,∴H是BC的中点，同理G是AD的中点，∴GH=AB=10cm,∴EF=10cm【知识点】折叠的性质，矩形的性质，矩形的判定5.（2019湖北十堰，16，3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．【答案】6【解析】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF=52∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中∠AHD=∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE=12AE•DH=12×3故答案为6．【知识点】等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质6.（2019湖北十堰，12，3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【答案】24【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．【知识点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质7.（2019湖北咸宁，16，3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝25；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③【解析】解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC=A∴CQ=1∴QN=C∴MN＝2QN＝25．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=1当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=1∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）8.（2019北京市，16题，2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，=1\*GB3①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；=2\*GB3②存在无数个四边形MNPQ是矩形；=3\*GB3③存在无数个四边形MNPQ是菱形；=4\*GB3④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是_______．【答案】①②③【思路分析】如图16-1，经矩形ABCD对角线交点O，任画两条和矩形对边分别相交的直线，顺次连接交点得到的四边形为平行四边形，显然有无数个四边形；②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为矩形，显然有无数个四边形；③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线，顺次连接交点得到的四边形为菱形，显然有无数个四边形；④画两条和矩形对边分别相交，并且垂直且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为正方形，显然只有一个四边形.【解题过程】如图16-1，O为矩形ABCD对角线的交点，图中任过点O的两条线段PM，QN，则四边形MNPQ是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条相等的线段PM，QN，则四边形MNPQ是矩形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.图中过点O的两条相等且垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误.故填：①②③.【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.9.（2019北京市，14题，2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．【答案】12【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a，b（a>b）；则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得，∴菱形的面积.故填12.【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.10.（2019贵州省安顺市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为.BBDMNCA第17题图【答案】【思路分析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果．【解题过程】连接AD，如图所示：BBDMNCA第17题答图∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形；∴MN＝AD，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，当AD⊥BC时，AD最短，此时△ABC的面积＝BC•AD＝AB•AC，∴AD的最小值＝，∴线段MN的最小值为；【知识点】垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法11.（2019黑龙江省龙东地区，10，3）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019＝________．【答案】22017.【思路分析】读懂条件，理清题意，先从简单的情形入手，逐步过渡到复杂情况，从中找到计算规律即可.【解题过程】△AA1A2中，AA1=1，AA1边上的高是1，它的面积S1=×1×1；△A1A2A3中，A1A2=1×，A1A2边上的高是1×，它的面积S2=×1××1×；△A2A3A4中，A2A3=1××，A2A3边上的高是1××，它的面积S3=×1×××1××；…如此下去，△A2018A2019A2020中，A2018A2019==，A2018A2019边上的高是，它的面积S2019=××=22017.【知识点】正方形的性质；勾股定理；三角形的面积12.（2019黑龙江省龙东地区，8，3）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值是________．【答案】.【思路分析】结合已知条件，根据S△PAB＝S△PCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.【解题过程】过点P作直线l∥AB，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∴CD=4,DD1=8,在Rt△CDD1中，由勾股定理得CD1=，∴PC＋PD的最小值是.lDlD1DACBP【知识点】矩形的性质；勾股定理；最短路径问题13.（2019吉林长春，13，3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为【答案】4+2【思路分析】本题主要考查翻折变换以及等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质可得CE=2，∠A=∠AFC=45°，进而得出FG的长，进而得出答案.【解题过程】解：由折叠的性质可知∠A=45°，AD=DF，∴FC=2，∠AFC=45°，∴CG=2，∴FG=2，∴△GCF的周长为4+2.故答案为4+2.【知识点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质.14.（2019·江苏镇江，10，2）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）第第10题图【答案】－1．【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°，得∠CFE＝∠ECF＝45°，而在Rt△CEF中，由勾股定理，得CF＝，从而DF＝－1，易知△DHF是等腰直角三角形，于是DH＝DF＝－1．因此本题答案为－1．【知识点】正方形的性质；旋转；等腰三角形的判定与性质；勾股定理15.（2019辽宁本溪，15，3分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=3，则点P到BD的距离为.【答案】3.【解析】解：过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，根据题意可得BP平分∠ABD.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∴PA=PQ.∵PA=3，∴PQ=3，故答案为3.【知识点】角平分线的性质.16.（2019广西贺州，18，6分）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为．【答案】【解析】解：作于，于，如图，易得四边形为矩形，则，正方形的边长为4，点是的中点，，，绕点顺时针旋转得，，，，，，而，点在的延长线上，平分交于点，，，即平分，，，，．故答案为．【知识点】旋转的性质；正方形的性质17.（2019广西梧州，18，6分）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是．【答案】【解析】解：连接交于，如图所示：四边形是菱形，，，，，，，，，由旋转的性质得：，，，四边形是菱形，，，，，，，；故答案为：．【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；菱形的性质；含角的直角三角形的性质；平行线的性质18.（2019江苏镇江，10，2分）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则．（结果保留根号）【答案】【解析】解：四边形为正方形，，，边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点落在对角线上，，，为等腰直角三角形，．故答案为．【知识点】旋转的性质；正方形的性质19.（2019江苏徐州，13，3分）【答案】16【解析】本题解答时要运用矩形的性质和三角形中位线的性质.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵M，N分别为BC，OC的中点，∴OB=2MN=2×4=8，∴AC=2OB=16.【知识点】矩形的性质；三角形中位线6.27.28.29.6.37.38.39.三、解答题1.(2019海南,21题,13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.第21题图【思路分析】(1)由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;(2)①通过证明全等得到AP＝EF,由平行线的传递性得到平行,故四边形AFEP是平行四边形;②列出方程得到AP的长,与PE比较,不能判定四边形AFEP是菱形.【解题过程】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D＝∠BCD＝90°,∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是CD的中点,∴DE＝CE,又∵∠DEP＝∠CEQ,∴△PDE≌△QCE;(2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,∴PE＝QE＝PQ,又∵EF∥BC,∴PF＝FB＝PB,∵PB＝PQ,∴PF＝PE,∴∠1＝∠2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF＝BP＝FP,∴∠3＝∠4,∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,∴∠1＝∠4,∴∠2＝∠3,又∵PF＝FP,∴△APF≌△EFP,∴AP＝EF,又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD＝x,则AP＝1－x,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ＝PD＝x,∴BQ＝BC+CQ＝1+x,∵点E,F分别是PQ,PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EF＝BQ＝.由①可知AP＝EF,即1－x＝,解得x＝,∴PD＝,AP＝,在Rt△PDE中,DE＝,∴PE＝＝,∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.第21题答图【知识点】三角形的内心,圆的对称性,等角对等边2.（2019黑龙江哈尔滨，24，8分）已知:在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F；(1)如图1,求证:AE=CF；(2)如图2,当∠ADB=30°时,连接AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．【思路分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．【解题过程】解：1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠DF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．【知识点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形的性质;平行线的性质;三角形面积公式3.（2019湖北仙桃，21，8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【思路分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，∠P=∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质4.（2019湖北咸宁，18，7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．（1）求证：四边形DEFC是矩形；（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．【思路分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．【解题过程】解：（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴DE∥FC，EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∵∠DCF＝90°，∴四边形DEFC是矩形．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．【知识点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；作图5.（2019湖南湘西，21，8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．【思路分析】（1）利用SAS即可证明；（2）用正方形面积减去两个全等三角形的面积即可．【解题过程】解：1）在△ABF和△CBE中AB=BC∠A=∠C=90°∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积=12×4×1所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质6.（2019年陕西省，18，5分）（本题5分）如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且．求证：．【思路分析】根据菱形的性质，可以得到菱形的四条边相等，对角相等，从而可以证明△ADE≌△ABC，所以，故得证．【解题过程】证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，，在△AFB与△CEB中，因为，，，所以△APE≌△ABP，所以．【知识点】菱形的性质定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质．7.（2019北京市，20题，5分）如图20-1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）如图20-2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．【思路分析】）（1）由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF中的三线合一，证得AC⊥EF.（2）菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有；得出OA的值.【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF ∴ ∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形 ∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.∴BD∥EF.又∵BD=4，tanG=∴∴AO==OC=1.【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.8.(2019黑龙江大庆,23题,7分)如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.第25题图【思路分析】(1)由矩形的性质可以得到对应边对应角相等,进而证得全等;(2)以EF为直径作圆,找到点G的位置,进而计算求得AG的长度.【解题过程】(1)在矩形ABCD中,AB∥CD,所以∠BAM＝∠DCN,又因为AB＝CD,AM＝CN,所以△ABM≌△CDN(SAS);(2)以EF为直径作圆,交AC于点G1,G2,连接EG1,FG1,EG2,FG2,则∠EG1F＝∠EG2F＝90°,因为EF＝AB＝3,所以G1H＝G2H＝EF＝,在Rt△ABC中,AC＝＝5,所以AH＝AC＝,所以AG1＝1,AG2＝4.第25题答图【知识点】矩形性质,三角形全等,圆周角定理,勾股定理9.（2019吉林长春，20，7分）图①、图②、图③处均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6.在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积