弹性薄板的小挠度弯曲课件

第五章薄板的小挠度弯曲板是工程中常用的构件,当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时,可以处理为平面应力问题;当外荷载作用方向垂直于板面时,则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性,要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难,这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设,建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件,并讨论几种常用的薄板弯曲问题第五章薄板的小挠度弯曲§5-1基本概念与计算假定§5-2薄板内力§5-3薄板弯曲的基本方程§5-4边界条件§5-5四边简支矩形薄板的重三角级数解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角级数解(Levy解)§5-7圆形薄板的弯曲§5-1基本概念与计算假定板、板面、板边、板厚·薄膜薄板:当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80~1/5之间时厚板挠度小挠度问题:挠度与板厚之比小于或等于1/5大挠度问题基尔霍夫假设(1)直法线假设(2)c,引起的变形略去不计(3)中面内各点只有垂直位移w基尔霍夫假设(1)变形前垂直于薄板中面的直线段(法线)在变形后仍保持为直线,并垂直于变形后的中面,且其长度不变,称为直法线假设,它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面,z轴垂直向下,则根据此假设,有E=0和=Y=0XZ基尔霍夫假设2)与σ,σ,τ等相比,σ,很小,在计算变形时可以略去不讠(3)薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移,即(u)a2=0,(v)=0=0,(w)=0=(xy)根据这个假设,中面内的应变分量e,8和γ均等于零即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w(x,y)称为挠度函数·在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论,属于薄板弯曲的经典理论,它在许多工程问题的分析计算中,已得到广泛的应用。§5-2薄板内力根据§5-1中的三个基本假设,利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程,可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力,都用挠度v来表示。下面就来建立这些基本关系式、薄板中的位移分量和应变分量的表示式、薄板中的应力分量表示式、薄板横截面上的内力表示式、薄板中的位移分量和应变分量的表示式根据上述第一假设,由几何方程知(a)式6x成立由式(a)的第三式可知,在板内所有的点板内各点的位移分量v沿厚度方向是相同的。~On位移分量w只是x和y的函数而与z无关,故0再由式(a)的第五、第六式,有nu=-z=+f(x,y)v=-z+f,(x,y)y由第三个假设:(u)=0和(v)=0可y,知,f1(x,y)=f(xy)=0,于是有L=-ZV=-Z(5-1)OwOWu(5-1)uE式(51)表示,薄板内坐标为(x2)6,=的任一点,分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布,中面处位移为零,在上、E20下表面处位移最大利用式(a)的第一、第二和第四式得应变分量的表示式awaa-w=y(5-2)azOx由此可见,应变分量E、E,Y、也是沿板厚呈线性分布,在中面为零,在上、下板面处达极值二、薄板中的应力分量表示式·根据上述的第一个和第二个假设,物理方程简化为Ezaa-wo=1(c.+)Eza2waE2(1+p)ZrysEzo2w