计算机应用基础-2-计算方法基础

第二章Matlab计算方法基础矩阵基本分析

矩阵的运算矩阵的性质矩阵的分解符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第1页。一矩阵的创建

(1)直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直接输入。以[]为开始和结束的标志，行与行之间用（；），元素之间用（，）或空格。

(2)冒号表达式

e1:e2:e3(3)zeros函数创建全零矩阵，调用格式为：矩阵的基本分析计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第2页。(4)eye函数创建单位矩阵，调用格式：A=zeros(m,n),生成mXn全零矩阵。B=eye(m,n),生成mXn单位矩阵。(5)rand函数创建均匀随机矩阵，调用格式：C=rand(m,n),生成mXn随机矩阵。矩阵的基本分析计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第3页。二

矩阵及其元素的赋值

变量=表达式（数）a=[123;456;789]x=[-1.3sqrt(3)(1+2+3)/5*4]x(5)=abs(x(1))a(4,3)=6.5a=1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.00009.0000006.5000

元素之间用逗号、空格分开。不同行以分号隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示结果，如果不想显示结果，用分号。元素用（）中的数字（下标）来注明，一维用一个下标，二维用两个下标，逗号分开。

a(5,:)=[5,4,3]b=a([2,4],[1,3])a([2,4,5],:)=[]a/7

如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大小，矩阵的行列会自动扩展。全行赋值，用冒号。提取交点元素；抽取某行元素用空矩阵。

矩阵的基本分析计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第4页。计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第5页。计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第6页。f1=ones(3,2)f2=zeros(2,3)f3=magic(3)f4=eye(2)f5=linspace(0,1,5)fb1=[f1,f3;f4,f2]fb2=[fb1;f5]

全1矩阵全0矩阵魔方矩阵：元素由1到nn的自然数组成，每行、每列及两对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。单位矩阵是n×n阶的方阵。对角线上元素为1。线性分割函数大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰好填满全部元素。三基本赋值矩阵矩阵的基本分析计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第7页。f1=111111全1矩阵f3=816魔方矩阵

357492线性分割函数f5=00.25000.50000.75001.0000大矩阵可由小矩阵组成fb2=1.00001.00008.00001.00006.00001.00001.00003.00005.00007.00001.00001.00004.00009.00002.00001.0000000001.000000000.25000.50000.75001.0000f2=000全0矩阵

000f4=10单位矩阵

01fb1=1181611357114921000001000fb1=[f1,f3;f4,f2]fb2=[fb1;f5]矩阵的基本分析计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第8页。一

矩阵的初等运算

（1）矩阵的加减乘法

i.加、减法：相加减的两矩阵阶数必须相同，对应元素相加减。[n,m]=size(fb2)x=[-101];y=x-1y=-2-10

语句size检查矩阵阶数，两矩阵相加，阶数必须相同。两相加减的矩阵中有一个是标量时，MATLAB将标量扩展成同等元素矩阵，与另一矩阵相加减。

2矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第9页。pi*x标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的每一个元素。x=[-101];X与y内阶数不同，将y转置y’。读作x左乘y’。y=[-2-10];x*y’ans=2

ans=20-2y‘*xX右乘y’。10-1000(2)矩阵乘法矩阵A

n×p阶与矩阵B

p×m阶的乘积C是n×m阶矩阵。P是A阵的列数，B阵的行数，称为两个相乘矩阵的内阶数。两矩阵相乘的必要条件是内阶数相等。C(i,j)=ΣkA(i,k)·B(k,j)值为A阵第i行和B阵第j列对应元素乘积的和。2矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第10页。eye(3)*a

左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。a*eye(3)

单位矩阵乘以矩阵A，左、右乘结果仍等于该矩阵。a=123ans=123ans=1234564564567897897892矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第11页。计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第12页。二矩阵的除法及线性方程组的解a=123456789AV=IV=A-1V=inv(a)inv(a)*aV=1.0e+016*-0.45040.9007-0.45040.9007-1.80140.9007-0.45040.9007-0.4504

n×n阶方阵A和同阶的方阵V相乘，得出n阶单位矩阵I。

I为eye(n)。

V是A的逆阵。V存在条件：A的行列式不等于0，det(A)≠0V=A-1MATLAB内部函数inv，得出A的逆阵V。D*X=Binv(D)*D*X=inv(D)*Binv(D)*D=II*X=XX=inv(D)*B=D\BX*D=BX=B*inv(D)=B/D

D与B行数相等两端同时左乘以inv(D)逆阵单位阵

D\B为D左除BX=D\B，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。未知矩阵在左.D的逆阵右乘以B，记作/D右除。右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。2矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第13页。a=[123;3-54;789]x=[x1,x2,x3]b=[2;0;2]ax'=bx=a\ba左除b方程组X1+2X2+3X3=23X1-5X2+4X3=07X1+8X2+9X3=2可以表示为ax’=b2矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第14页。a=[123;456]b=[240;135]d=[147;852;360]运算：a*bd\aa*b???Errorusing==>*Innermatrixdimensionsmustagree.d\a???Errorusing==>\Matrixdimensionsmustagree.a'*bans=6162092325123030a*b'ans=10222849d\a'ans=-0.037000.51851.0000-0.14810a/d

ans=0.40740.07410.00000.74070.40740.00002矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第15页。解线性方程组Ax=B6x1+3x2+4x3=3-2x1+5x2+7x3=-48x1-4x2-3x3=-7A=[634;-257;8-4-3]B=[3;-4;-7]X=A\BA=634-2578-4-3B=3-4-7X=0.60007.0000-5.40002矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第16页。三矩阵结构形式的提取与变换

A=[8160;3571;4922]B1=fliplr(A)B2=flipud(A)B3=reshape(A,2,6)

提取矩阵中某些特殊结构的元素，组成新的矩阵，改变矩阵结构。

fliplr矩阵左右翻转

flipud矩阵上下翻转

reshape阶数重组（元素总数不变）B4=rot90(A)B5=diag(A)B6=tril(A)B7=triu(A)B8=A(:)'rot90矩阵整体反时针旋转90度

diag提取或建立对角阵

tril取矩阵的左下三角部分

triu取矩阵的右上三角部分将元素按列取出排成一列2矩阵的运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第17页。3.1矩阵基本概念与性质一行列式3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第18页。【例2-1】>>A=[162313;511108;97612;414151]

det(A)162313511108A=97612414151求行列式3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第19页。二矩阵的秩3.矩阵的性质rank(A)=rc=rr

其中rc为行稚，rr为列秩r=rank(A)%采用默认的精度求秩r=rank(A,)%给定精度求秩计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第20页。【例2-2】>>A=[162313;511108;97612;414151]

r=rank(A)R=rank(A)=3162313511108

求A=97612的秩4141513.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第21页。3.2逆矩阵与广义逆矩阵一矩阵的逆矩阵AC=CA=I其中A为nXn非奇异方阵，则C=A-1C=inv(A)3.矩阵的性质矩阵的伪逆B=pinv(A)计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第22页。【例2-3】>>A=[162313;511108;97612;414151]

formatlong;B=inv(A)162313511108A=97612求逆414151下列奇异矩阵3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第23页。3.3矩阵的特征值问题

一、一般矩阵的特征值与特征向量Ax=xd=eig(A)%只求特征值[V,D]=eig(A)%求特征值和特征向量3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第24页。【例2-4】>>A=[162313;511108;97612;414151]

eig(A)求下列矩阵的特征值和特征向量162313511108A=97612414151同时求出特征值和特征向量>>[V,D]=eig(A)3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第25页。二矩阵的广义特征向量问题Ax=Bxd=eig(A,B)

求解广义特征值[V,D]=eig(A,B)

求解广义特征值和特征向量3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第26页。THANKYOUSUCCESS2023/7/1527可编辑计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第27页。【例2-5】>>A=[5765;71087;68109;57910];B=[26-1-3;5-123;-3-4110;5-2-38];[V,D]=eig(A,B)576571087A=681095791026-1-25-123B=-3-41105-2-38求特征值和特征向量3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第28页。V=0.2928-0.2697+0.7303i-0.2697-0.7303i1.00001.0000-0.1637-0.3013i-0.1637+0.3013i-0.60880.69480.9627-0.0175i0.9627+0.0175i-0.23220.8860-0.6795-0.2999i-0.6795+0.2999i0.1323D=

5.277700000.0303+0.1790i00000.0303-0.1790i0000-0.00363.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第29页。三矩阵分析det(A)：矩阵的行列式poly(A)：矩阵特征多项式rank(A)：矩阵的秩inv(A)：矩阵的逆cond(A)：矩阵的条件数trace(A)：矩阵的迹pinv(A)：矩阵的伪逆3.矩阵的性质计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第30页。正交矩阵4矩阵的基本变换X=B-1ABQ*Q=I,且QQ*=IQ=orth(A)计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第31页。>>

A=[162313;511108;97612;414151];Q=orth(A)>>norm(Q'*Q-eye(3))ans=1.0140e-015【例2-6】162313511108A=97612的正交矩阵4141514矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第32页。4矩阵的基本变换一矩阵的QR分解A=Q*RA为非奇异矩阵，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，调用格式：

[Q,R]=qr(A)计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第33页。【例2-6】>>

A=[162313;511108;97612;414151];[Q,R]=qr(A)162313511108A=97612的QR分解4141514矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第34页。二矩阵的三角分解A=LU其中4矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第35页。【例2-7】>>

A=[162313;511108;97612;414151];[V,D]=lu(A)V=1.00000000.31250.76851.000000.56250.43521.00001.00000.25001.000000D=16.00002.00003.000013.0000013.500014.2500-2.250000-1.88895.66670000162313511108A=97612的LU分解4141514矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第36页。三矩阵的奇异值分解ATA>=0,AAT>=0其中A为任意的nxm矩阵

理论上有rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A)奇异值定义其中i为非负特征值4矩阵的基本变换奇异值的计算：s=svd(A)计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第37页。【例2-8】>>A=[162313;511108;97612;414151][U,S,V]=svd(A)162313511108A=97612的奇异分解4141514矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第38页。矩阵分解qr(A)：矩阵的QR分解lu(A)：矩阵的LU分解eig(A)：求特征值和特征向量svd(A)：矩阵的奇异值分解chol(A)：矩阵的Cholesky分解（A=T’*T，T为正定上三角矩阵）4矩阵的基本变换计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第39页。5符号运算Matlab提供了一种符号数据类型，相应的运算对象成为符号对象，Matlab符号运算功能集中在符号工具箱(symbolictoolbox)。符号表达式可以代表数字、函数和变量的Matlab字符串或字符串数组，它不要求变量要有预先确定值。符号对象：

sym或syms函数用于建立单个和多个符号变量。f=sym(expr)%表达式expr转换为符号对象syms(‘arg1’,’arg2’,…)%将arg1,arg2定义为符号变量symsarg1arg2…%上面的简化（变量间只能用空格隔开）计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第40页。符号表达式包括符号符号函数和符号方程，其中符号函数没有等号，符号方程必须带有等号。

注意sym可以建立符号方程，而syms不能。例：y=sym(‘2*sin(x)*cos(y)’)symsx1x2x3x4z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)*sin(x2)simple(z)A=[x1x2;x3x4]DA=det(A)f=sym(‘sin(x)+cos(y)-1=0’)f=syms(‘sin(x)+cos(y)-1=0’)%Notavalidvariablename5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第41页。基本命令

findsym(expr)%确定表达式expr中所有符号为自变量

findsym(expr,n)%确定表达式expr中靠x最近的n个自变量例：

symsaxyztfindsym(sin(pi*t))findsym(x+i*y-j*z,1)findsym(x+i*y-j*z,2)findsym(x+i*y-j*z,3)5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第42页。基本命令

digits(d)%设置有效数字个数为d的近似解精度R=vpa(A)%对表达式A求值

R=vpa(A,d)%d为输出数值的有效位数例：

digits(25)%设置vpa输出的有效位数

q=vpa(sin(sym('pi')/6))p=vpa(pi)w=vpa('(1+sqrt(5))/2',5)5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第43页。基本命令

R=subs(S)R=subs(S,old,new)例：

a=980;C1=3;y=dsolve('Dy=-a*y')subs(y)subs(a+b,a,4)subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})subs(x*y,{x,y},{[01;-10],[1-1;-21]})5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第44页。求极限命令

limit(F,x,a)%x趋向a时F的极限

limit(F,a)%利用findsym确定变量

limit(F)%默认a=0limit(F,x,a,‘right’)%右极限

limit(F,x,a,‘left’)%左极限例：

symsxath;limit(sin(x)/x)limit(1/x,x,0,'right')limit(1/x,x,0,'left')limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)v=[(1+a/x)^x,exp(-x)];limit(v,x,inf,'left')5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第45页。求导命令

diff(S,‘v’,n)%S对变量v求n阶导数

diff(S,‘v’)%S对v求一阶导数

diff(S,n)%自变量由findsym确定

diff(S)%自变量由findsym确定例：

symsxtdiff(sin(x^2))diff(t^6,6)5符号运算计算机应用基础-2-计算方法基础全文共52页，当前为第46页。积分命令

R=int(S,v,a,b)%S对变量v在区间[a,b]内求定积分

R=int(S,a,b)%自变量由findsym确定

R=int(S,v)%S对变量v求不定积分

R=int(S)%自