第三章空间向量与立体几何知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1/24新教材北师大2019版数学选择性必修第一册第三章知识点清单目录第三章空间向量与立体几何§1空间直角坐标系§2空间向量与向量运算§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示§4向量在立体几何中的应用§5数学探究活动（一）：正方体截面探究30/33第三章空间向量与立体几何§1空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.x轴、y轴、z轴的方向通常符合右手螺旋法则.二、点在空间直角坐标系中的坐标1.在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z).三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标.2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示点的位置在x轴上在y轴上在z轴上坐标表示(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)点的位置在xOy平面内在yOz平面内在zOx平面内坐标表示(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)（1）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点为Px1（2）已知△ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为x1三、空间两点间的距离公式1.已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|=(x2.特别地，空间任意一点P(x，y，z)到原点O的距离|OP|=x23.知识拓展

(1)点P(x，y，z)到坐标平面xOy的距离为|z|.(2)点P(x，y，z)到坐标平面yOz的距离为|x|.(3)点P(x，y，z)到坐标平面zOx的距离为|y|.(4)点P(x，y，z)到x轴的距离为y2(5)点P(x，y，z)到y轴的距离为x2(6)点P(x，y，z)到z轴的距离为x2(7)已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(8)利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长之间的数量关系；判定三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，并确定其中两线段的长度之和等于第三条线段的长度.四、确定空间中的点的坐标1.空间直角坐标系的构建(1)建立空间直角坐标系遵循的原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)建立空间直角坐标系的常用策略：①利用几何体中共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系；②利用线面的垂直关系构建直角坐标系；③利用面面的垂直关系构建直角坐标系.2.求点的坐标的常见方法(1)投影法看所求点分别在x轴、y轴、z轴的投影对应的数值.如求点P的横坐标x，如图，可过点P作PP1⊥平面xOy于点P1，再过点P1作P1P2⊥x轴于点P2，点P2的横坐标即为x；或直接构造长方体OP，确定线段P1P3，P1P2，PP1的长，再注意对正负号的选取即可得点P的坐标.一般地，当点在平面xOy、平面zOx、平面yOz内或易确定点在x轴、y轴、z轴上的投影时均适合用投影法.(2)公式法线段的中点、n等分点或三角形的重心等可用公式法求解.若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则线段AB的中点的坐标为x1三角形ABC重心的坐标为x1当点P在线段AB上且AP=λPB时，Px1(3)向量法(后续会学习)(4)几何法：把空间问题转化为平面问题，用平面几何知识求解.(5)待定系数法：设点P(x，y，z)，利用已知条件求出x，y，z的值.五、空间直角坐标系中点的对称问题P(x，y，z)P1(-x，-y，-z)；P(x，y，z)P2(-x，y，z)；P(x，y，z)P3(x，-y，z)；P(x，y，z)P4(x，y，-z)；P(x，y，z)P5(x，-y，-z)；P(x，y，z)P6(-x，y，-z)；P(x，y，z)P7(-x，-y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余的取相反数.§2空间向量与向量运算一、空间向量1.空间向量的有关概念名称定义空间向量具有大小和方向的量长度(模)表示向量的有向线段的长度相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量零向量和单位向量模为0的向量和模为1的向量共线向量(平行向量)表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量共面向量平行于同一平面的向量(1)数学中所研究的向量，它的起点和终点可以任意平行移动，被称为自由向量；(2)零向量的方向是任意的，规定零向量与任意向量平行；(3)单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等；(4)方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间中，可用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；(5)空间任意两个向量都为共面向量；(6)一般来说，向量不能比较大小.2.空间向量的表示(1)用有向线段表示，如AB，点A叫作向量AB的起点，点B叫作向量AB的终点.(2)印刷时用a，b，c，…表示，书写时用a，b，c，…表示.二、空间向量的线性运算运算法则(或几何意义)运算律加法a+b

三角形法则平行四边形法则交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法a-b三角形法则数乘λa(λ∈R)(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=0结合律：λ(μa)=(λμ)a(λ，μ∈R)；分配律：(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb(λ，μ∈R)三、共线向量基本定理空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)四、空间向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作<a，b>.通常规定0≤<a，b>≤π.2.两个向量的数量积(1)定义已知两个空间向量a，b，把|a||b|·cos<a，b>叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos<a，b>.(2)结论(i)cos<a，b>=a⋅b|a||b|(a≠0，b≠0)(ii)|a|=a⋅a；(iii)a⊥b⇔a·b=0.(3)运算律(i)交换律：a·b=b·a；(ii)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；(iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).3.投影向量与投影数量已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，称向量OB1为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos<a，b若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为OB1=|b|cos<a,b>a0，向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos<a，b>=a⋅b|a|=a五、共线向量基本定理及其应用1.共线向量基本定理既是判定定理又是性质定理，要灵活应用.可用于证明两条直线平行，进而证明线面平行，面面平行.2.用共线向量基本定理证明三点共线.若A，B，C三点不重合，则存在实数λ，使得AB=λAC⇔A，B，C三点共线.3.一个常用结论要牢记：P是直线AB外任意一点，A，B，C三点共线的充要条件为PC=λPA+μPB，且λ+μ=1(λ，μ∈R).4.拓展认识共面向量：(1)定义：平行于同一平面的向量叫作共面向量.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在唯一有序实数对(x，y)，使AP=xAB+yAC或对空间任意一点O，有OP=OA+xAB+yAC.六、利用两个向量的数量积求夹角1.求两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用向量夹角的定义来求，但要注意夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求cos<a，b>，最后确定<a，b>2.求两条异面直线的夹角的步骤(1)取向量：根据题设条件求两条异面直线的方向向量(2)角转化：将异面直线的夹角问题转化为向量的夹角问题(3)求余弦值：利用数量积求余弦值或角的大小(4)定结果：异面直线的夹角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应加上绝对值，继而求异面直线夹角的大小3.由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线的夹角的取值范围为0，π2，因此利用向量的数量积求异面直线的夹角时当<a，b>∈0，π2时，它们相等；当<a，b>∈π2七、利用空间向量的数量积求距离(或线段长)1.求两点间距离的步骤(1)用向量的模|a|表示此距离；(2)用已知模和夹角的向量表示向量a；(3)用公式a·a=|a|2求|a|；(4)|a|即为所求距离.2.求模公式的推广公式|a|=a⋅a可以推广为|a±b|=(a±b)2八、利用空间向量的数量积判断或证明垂直关系1.利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由结论a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.2.用向量法证明垂直关系的步骤：①把几何问题转化为向量问题；②用已知向量表示所证向量；③结合数量积公式和运算律证数量积为0；④将向量问题回归到几何问题.§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示一、空间向量基本定理1.如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫作空间向量的一组基，其中a，b，c都叫作基向量.

2.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基.二、标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k}，这组基叫作标准正交基.三、空间向量运算的坐标表示向量运算坐标表示设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)加法a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)减法a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)数乘λa=(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3四、空间向量平行(共线)和垂直的条件位置关系坐标表示设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)平行a∥b⇔a=λb(λ∈R，b≠0)⇔a当b与三个坐标平面都不平行(即b1b2b3≠0)时，a∥b⇔a1b1=垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0五、空间向量长度与夹角的坐标表示向量长度若a=(a1，a2，a3)，则|a|=a⋅a=a两点间的距离公式若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|=|AB|=(a向量夹角公式若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos<a，b>=a⋅b|a||b|a1b1+a2b2+六、利用基解决几何向量1.基向量的选择(1)所选向量必须不共面，可以利用空间向量基本定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知向量；(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基向量.2.用一组基表示向量的步骤(1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间向量的一组基.(2)找目标：用确定或已知的一组基表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)得结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量，其结果中只能含有a，b，c，不能含有其他向量.七、利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题的方法1.建坐标系：根据题目中的几何图形恰当地建立空间直角坐标系2.定坐标：通过点的坐标确定涉及向量的坐标3.译语言：将立体几何问题中的几何语言“翻译”成向量中的对应语言4.用运算：借助向量的运算和性质完成几何问题的证明5.得结论：得出正确的结论八、利用空间向量的坐标运算求夹角、长度问题1.求两向量夹角的步骤(1)确定两向量的坐标：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).(2)利用公式求两向量的夹角：cos<a，b>=x12.求空间中两点间的距离或线段长度的常用方法(1)空间两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|=|AB|=|AB(x(2)向量的模的计算公式：a=(x，y，z)，则|a|=x2§4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系一、直线的方向向量与平面的法向量1.直线的方向向量设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称AB为直线l的方向向量.与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.2.平面的法向量如图，如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α.设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有MP·n=0.反过来，满足此式的点P都在平面α内，所以把此式称为平面α的一个向量表示式.二、空间中的平行位置关系向量表示线线平行设两条不同直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2线面平行设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0面面平行设两个不同平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2三、空间中的垂直位置关系向量表示线线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn面面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0四、三垂线定理1.三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.五、求平面的法向量1.平面法向量的确定的两种常用方法(1)若几何体中已经给出有向线段，则只需证明线面垂直；(2)若几何体中没有具体的直线，则此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.2.若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤：(1)设平面的法向量为n(2)选取平面内两个不共线的向量，不妨设为AB，AC(3)由n⋅AB=0，n⋅AC=0(4)令x，y，z中的一个为非零值(常取±1)，确定x，y，z的一组值(5)得到平面的一个法向量3.注意(1)求平面的法向量n=(x，y，z)时，一般将x，y，z中的一个视为“已知数”，表示出另外两个，再令这个“已知数”为1(或其他非零常数)，即可求得n.(2)从简化运算的角度出发，应尽量避免法向量的坐标中含有分数.(3)(0，0，0)不能作为平面的一个法向量，当x=y=z时，不能给其中一个赋值为0.六、向量法证明空间平行问题1.证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)在平面内找一个直线的方向向量的共线向量；(3)利用平面向量基本定理，即证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量线性表示.3.证明面面平行的方法(1)证明两个平面的法向量平行；(2)转化为线面平行、线线平行来证明.七、向量法证明空间垂直问题1.基向量法(1)取三个不共面的已知向量(通常已知它们的模及两两之间的夹角)为空间向量的一组基；

(2)把两直线的方向向量用基表示；(3)利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.2.坐标法(1)根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确写出各点的坐标；(2)根据各点坐标求出两直线方向向量的坐标；(3)计算出两直线方向向量的数量积为0；(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系一、空间中的角角的分类向量求法范围异面直线的夹角设两条异面直线的夹角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ=|cos<a，b>|=a0直线与平面的夹角设直线l与平面α的夹角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos<a，n>|=a0二面角设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ=cos<n1，n2>或cosθ=cos(π-<n1，n2>)[0，π]二、空间中的距离问题1.点到平面的距离点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量PA，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d=|PA·n0|. 2.点到直线的距离若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d=|PA 三、用向量法求空间角1.两异面直线的夹角的向量求法(1)在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基的方法.在由公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求向量a与b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用一组基表示出来(2)用坐标法求异面直线的夹角：①