高中数学-椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《椭圆的简单几何性质》教学设计一、复习回顾，新知导入这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先复习一下上节课的知识。二、探究问题，观察发现从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的对称性、顶点、范围、离心率来探究。探究一：椭圆的范围问题1.（1）观察椭圆的形状，它有怎样的范围？（2）如何利用方程+=1(a>b>0)给出证明？从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由+=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x≤a且y≤b,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，理解椭圆位于直线和所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性.（板书）椭圆的范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b。探究二：椭圆的对称性问题2：（1）观察椭圆的形状，你有什么发现？【设计意图】让学生直观感知，更深入认识椭圆的对称性。得出结论：椭圆具有对称性：椭圆是轴对称图形，又是中心对称图形。（2）在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？【设计意图】经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。学生讨论：设，则点关于轴、轴和坐标原点的对称点分别是，若曲线关于轴对称，则点关于轴对称点也在曲线上，即满足方程。同理可以推出另外两种情况。（3）基于此，能否从方程角度得到椭圆的对称性？【设计意图】为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的学习打下良好的基础。学生讨论得出：以代，方程不变，则曲线关于轴对称；以代，方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代、以代，方程不变，则曲线关于原点对称。（板书）椭圆的对称性：椭圆关于轴，轴和原点对称。探究三：椭圆的顶点问题3：观察椭圆，你觉得有哪些特殊的点？由方程如何得到这些点的坐标?学生易得：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。【设计意图】体验用代数的方法研究几何问题过程。令则有或；同理可得或。教师指出：其实，我们把椭圆与坐标轴的交点就叫做椭圆的顶点。其中线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x轴上。（整合点：教师通过ppt演示“椭圆的顶点”）（板书）椭圆的顶点：。探究四：椭圆的离心率椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，设计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。问题4：（1）观察图形，椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆的扁平程度呢？【设计意图】让学生积极参与到课堂活动来，自主思考、讨论，交流成果。本过程中，几何画板的强大功能发挥巨大作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时，还可以让学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。(整合点：展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。)教师指出：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用离心率来描述。（1）概念：椭圆焦距与长轴长之比。（2）定义式：问题4：（2）离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？【设计意图】学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随e的变化而变化的规律，他到突破难点的效果。再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。从式子上看：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为线段为椭圆在时的特例。(板书)椭圆的离心率：，三、总结归纳，能力提升让学生学会将课堂上所学的知识整合成块，形成属于自己的知识体系。要求课堂填写（）的性质，课后完成（）的性质。【小试牛刀】1.若点P（2,4）在椭圆上，下列哪些点在椭圆上_______(1)P(-2,4)(2)P(-4,2)(3)P(-2,-4)(4)P(2,-4)2.比较下列椭圆的形状,哪一个更圆？和【设计意图】为了让学生能真正理解离心率的意义，教学中利用数形结合的思想，从几个具体的椭圆标准方程入手，通过对图形的观察、方程的验证，从数的方面，发现了椭圆形状与的本质联系，使学生体验了学习数学的乐趣，感悟和体会了特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归纳、类比等数学思想方法的运用。四、典例赏析，学以致用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：【例1】求椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶点的坐标。变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，；（2）经过点P(-3,0)，Q(0,-2)；（3）长轴长等于20，离心率等于。五、课堂小结本节课我们研究了曲线的哪些性质？这些性质通过怎样的方法得到?作业布置1.课本P115习题3.1组第3、4题。2.已知椭圆C的方程为（1）与椭圆C具有相同焦点的椭圆有多少个？写出其中两个椭圆的方程.(2)与椭圆C具有相同离心率的椭圆有多少个？写出其中两个椭圆的方程.（3）求与椭圆C具有相同离心率，且过点（3,2）的椭圆的标准方程.学情分析学生已经熟悉和掌握椭圆的定义和标准方程，学生有探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰。对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握。离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验。离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题。效果分析1.课堂教学效果各个教学环节学生都能积极参与，都能比较深刻的理解和熟练地应用知识点；应用几何画板，非常形象的展示了椭圆离心率的变化对椭圆形状的影响，激发了学生学习的兴趣，同时将难点直观化，学生接受新知效果较好；通过学生板演，激励学生学习，同时也是对本节课的验收。2.学生学习效果巡视发现学生掌握较好；课堂积极参与，学习态度较好。教材分析教材的地位和作用本节课是人教A版选择性必修一第三章《圆锥曲线的方程》中3.1《椭圆》的第二课时，本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课具有举足轻重的地位和作用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.教学目标（1）知识与技能：掌握椭圆的性质，能根据性质正确地做出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c、e的几何意义及相互关系；能利用椭圆的性质解决实际问题。（2）过程与方法：通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。（3）情感态度与价值观：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。3.教学重、难点（1）教学重点椭圆的简单几何性质.（2）难点椭圆的离心率.评测练习【小试牛刀】1.若点P（2,4）在椭圆上，下列哪些点在椭圆上_______(1)P(-2,4)(2)P(-4,2)(3)P(-2,-4)(4)P(2,-4)2.比较下列椭圆的形状,哪一个更圆？和【例1】求椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶点的坐标。变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，；（2）经过点P(-3,0)，Q(0,-2)；（3）长轴长等于20，离心率等于。课后反思本节课是人教A版选择性必修一第三章的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。这是学生第一次正式学习使用代数方法研究圆锥曲线的几何性质，因此，上好本节课显得尤为重要。本节课总体上是以椭圆为载体研究椭圆的几何性质，通过对椭圆方程的研究，让学生自然得出相应的几何性质。由学生归纳出椭圆的顶点、范围、长短轴等概念，并揭示了椭圆方程中的几何意义。本节课的重点是利用椭圆方程来研究几何性质，所以在归纳一般概念时，应注重强调代数方法和坐标法。例如，由方程可直接求得的范围；利用对称点的坐标，可以检验曲线的对称性；分别令和可以求出四个顶点（即椭圆与对称轴交点）的坐标。从教学情况来看，学生接受还是比较好的。离心率是本节课的难点，课本直接提出利用与可以刻画椭圆的圆扁程度，接着给出离心率的定义，学生接受起来是比较困难的。因此我在学生对椭圆的圆扁变化有了初步的感性认识之后，让学生合作讨论，寻找一个合适的量来刻椭圆的扁平程度。学生们不难发现，椭圆的扁平程度与长轴，短轴有关，所以可以用来进行刻画。我首先肯定了学生的回答，再在这个基础上，通过推导说明也是反映椭圆扁平程度的一个量，引出离心率的定义，之后再通过几何画板形象的展示对离心率的影响，这种对事物从感性到理性的认识，正是思维质变的过程。不过由于给学生自主讨论离心率的时间较少，学生对离心率的理解课下还需再消化一下。另外由于课堂上时间有限，学生的接受能力也有所局限，在作业布置中给出了对本节内容深层次理解的题目，实现分层教学的目的。课标分析《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本节课的要求有以下两条：（1）掌握椭圆的简单