空间解析几何基础知识

空间解析几何基础知识2023/7/171第1页，课件共33页，创作于2023年2月主要内容第一节空间解析几何基础知识第二节多元函数的概念第三节偏导数与全微分第四节多元复合函数与隐函数微分法第五节多元函数极值与最值第六节二重积分2023/7/172第2页，课件共33页，创作于2023年2月第一节空间解析几何基础知识

第六章一、空间直角坐标系二、常见的空间曲面与方程三、平面区域的概念及其解析表示2023/7/173第3页，课件共33页，创作于2023年2月一、空间直角坐标系

在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,取定正方向,各轴上再规定一个共同的单位长度,这就构成了一个空间直角坐标系,记为Oxyz,并称O为坐标原点,称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴.2023/7/174第4页，课件共33页，创作于2023年2月

称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称xOy,yOz,zOx平面.2023/7/175第5页，课件共33页，创作于2023年2月

对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴正向时,中指正好指向z轴方向.2023/7/176第6页，课件共33页，创作于2023年2月

设给定空间中一点M,过点M作三个平行于坐标平面的平面,它们与x,y,z轴分别交于点P、Q、R,其所在坐标轴上的坐标分别为x,y,z.

我们称与点M对应的三个有序的实数为点M的坐标,记为M=M(x,y,z)其中x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,或称为x坐标、y坐标、z坐标.2023/7/177第7页，课件共33页，创作于2023年2月

三个坐标平面将空间分成八块,每一块叫做一个卦限,我们将八个卦限编号,在上半空间为I,II,II,IV,在它们的下方分别为V,VI,VII,VIII.2023/7/178第8页，课件共33页，创作于2023年2月

对于空间中任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离为2023/7/179第9页，课件共33页，创作于2023年2月

特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的距离为2023/7/1710第10页，课件共33页，创作于2023年2月二、常见的空间曲面与方程

空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡位于这一曲面上的点的坐标x,y,z都要满足一个三元方程F(x,y,z)=0(7.3)

而不在这个曲面上的点的坐标都不满足方程(7.3).我们称方程(7.3)为曲面S的方程.曲面S的几何图形称为方程(7.3)的图形.下面来解决关于曲面的两个基本问题:1.巳知曲面的几何轨迹,建立曲面的方程2023/7/1711第11页，课件共33页，创作于2023年2月例1

求球心在点半径为R的球面方程.特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为2023/7/1712第12页，课件共33页，创作于2023年2月例2一动点M(x,y,z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的故M(x,y,z)的轨迹方程xoz面的方程为y=0

距离相等,求此动点M的轨迹方程.(即A、B两点连线的垂直平分面的方程)为因xy平面上任意一点的坐标满足z=0；而凡满足z

=0的点又都在xy平面上；故坐标平面的方程分别为xoy面的方程为z

=0yoz面的方程为x=02023/7/1713第13页，课件共33页，创作于2023年2月平行于xy面的平面方程为z=c(c为常数,表示此平面平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数,表示此平面

平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数,表示此平面Ax+By+Cz+D=0

重要结论:

平面方程均为一次方程.

其中A、B、C、D均为常数,且A、B、C不全为0.在z轴上的截距)在y轴上的截距)在x轴上的截距)一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的图形均是平面.

空间平面方程的一般形式为2023/7/1714第14页，课件共33页，创作于2023年2月2.已知曲面的方程,研究方程的图形通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于会得出曲面S的全貌——这种方法称为一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面x=a、y=b和z=c去截曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就例考察下列的图形方程:“平行截口”法.2023/7/1715第15页，课件共33页，创作于2023年2月解用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,显然c越大，其截痕圆越大.zyOx以半径为R的圆.抛物线.故曲面是一个旋转抛物面(如图).2023/7/1716第16页，课件共33页，创作于2023年2月1.平面空间平面方程的一般形式为ax+by+cz+d=0(7.4)其中a,b,c,d为常数,且a,b,c不全为零.例如,当a=b=d=0,而c≠0时,得平面方程z=0,也就是xOy平面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.

常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲面等.2023/7/1717第17页，课件共33页，创作于2023年2月2.柱面

设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.2023/7/1718第18页，课件共33页，创作于2023年2月

柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线都相交的曲线都可作为准线.我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面.设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲线L可以用联立方程组表示.2023/7/1719第19页，课件共33页，创作于2023年2月

例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.2023/7/1720第20页，课件共33页，创作于2023年2月

方程x2－y2=1表示母线平行于Oz轴,准线为双曲线的双曲柱面.2023/7/1721第21页，课件共33页，创作于2023年2月方程y2=2px表示抛物柱面.2023/7/1722第22页，课件共33页，创作于2023年2月3.二次曲面三元二次方程a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0(7.5)所表示的空间曲面称为二次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3)和d均为常数,且ai,bi不全为零.(1)球面x2+y2+z2=R2(R>0)(7.6)2023/7/1723第23页，课件共33页，创作于2023年2月(2)椭球面当a=b=c=R时,即为球面.2023/7/1724第24页，课件共33页，创作于2023年2月(3)单叶双曲面2023/7/1725第25页，课件共33页，创作于2023年2月(4)双叶双曲面2023/7/1726第26页，课件共33页，创作于2023年2月(5)二次锥面(6)椭圆抛物面2023/7/1727第27页，课件共33页，创作于2023年2月(7)双曲抛物面(马鞍面)2023/7/1728第28页，课件共33页，创作于2023年2月例7.1

求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心和半径.解用配方法将原方程改写为(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0即所以球心坐标为(2,－3,－4),半径.2023/7/1729第29页，课件共33页，创作于2023年2月三、平面区域的概念及其解析表示

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实数,以P0为圆心,以δ为半径的圆的内部称为点P0的δ邻域.δ2023/7/1730第30页，课件共33页，创作于2023年2月内点、开集设D为xOy平面上一点集,点P0(x0,y0)∈D,若存在δ>0,使得.则称P0为D的内点;若D的点都是内点,则称D为开集.P0(x0,y0)2023/7/1731第31页，课件共33页，创作于2023年2月边界、边界点设P0(x0,y0)为xOy平面上的一点,若对任意δ>0,总存在点P1,P2∈Dδ(P0),使得P1∈D,P2