高中数学-3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《椭圆的简单几何性质》教学设计教材：人民教育出版社A版选择性必修一第一册【教学目标】1.知识目标：(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。3.德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。(2)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。【教学过程】一．创设情境教师：前面我们学习了椭圆及其标准方程，我们有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。二．探索研究1.范围教师：我们知道椭圆是一个封闭图形，那么它一定有范围，同学们继续观察椭圆，椭圆上有几个特殊点？学生能答出：有四个，与坐标轴的交点。教师补充完整：与x轴的交点（±a,0）、与y轴的交点（0，±b）教师：下面我们想办法再用方程+=1(a>b>0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由+=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x≤a且y≤b,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．对称性的发现与证明教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是+=1。教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。教师对学生的证明进行评价。教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示对称性并总结：方程+=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心).教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。3.顶点的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆与坐标轴有四个交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得y=±b，因此B1(0,-b),B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0),A2(a,0)。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1,A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。4．离心率教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。教师引导学生从演示实验观察固定住a不动，c变化椭圆的扁平程度就会发生变化，如果a也发生变化，如果c与a的比值相等两个椭圆的扁平程度相同，引导学生可以由和两个量c与a的比值刻画椭圆的扁平程度。给出离心率的定义和范围。把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。并且固定住a不动继续通过c的变化通过动画观察离心率的变化对椭圆扁平程度的影响（这引起同学们的极大兴趣）。通过观察离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆；当c=0时，即a=b时,椭圆变为圆。又从三角函数的角度分析：当比值越小，椭圆越扁；比值越大，椭圆越接近于圆。由于===，所以当越大时，越小，椭圆越扁；当越小时，越大，椭圆越接近于圆。结论：离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什么定义是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含这圆锥曲线几何特征的统一性。三．巩固与创新应用例1求椭圆的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。解：由于a=5,b=4，c==3椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8离心率e==因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。练一练：已知椭圆方程为则它的长轴长是（），短轴长是（），焦距是（），离心率等于（），焦点坐标（），顶点坐标（），外切矩形的面积为（）。学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书）例2：。引导学生能够进行分类讨论，规范解答过程。练一练：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P(5,0),Q(0,4);(2)焦点在y轴上，长轴长是6，离心率是eq\f(2,3)；(3)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.课后作业：1、已知椭圆的两个焦点与一个短轴端点构成正三角形，求其离心率。2、若椭圆的两个焦点把长轴三等分，求其离心率。3、若椭圆的焦距等于它的短轴长，求其离心率。4、若椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，求其离心率。5、若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，求椭圆离心率的取值范围。通过留下的这几个课后思考题能对简单的离心率求值和求范围问题进行求解，并对离心率能有更进一步的理解。学情分析我任教的班是普通班,大多数学生的数学基础还可以,独立分析问题，解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我借助了多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。效果分析一、课堂教学效果1、这节课安排了创设情境，导入新课、尝试探求、类比探究，总结和作业等几个教学环节。在教师引导下，通过学生积极思考，自主探求，合作探究，从而实现教学目的的要求，很好地完成教学任务2﹑教学中采用多媒体的手段，利用幻灯片、GGB软件制作课件，增强学生对知识的直观感受，有利于完善认知结构。根据本节课的教学难点，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材中原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态数学为动态数学。教学中也突出多媒体辅助知识产生、发展和突破重、难点的优势，从而强化学生对知识的过程与方法的掌握，有利于学生对知识的理解和应用。3、通过学生板演，激励学生学习。同时也是对本节课验收。二、学生学习效果1、通过课上提问学生掌握很好。2、通过学生做题板演也看出学生掌握的不错。《椭圆的简单几何性质》教材分析1.

教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。2.重点、难点教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出3.教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。《椭圆的简单几何性质》学案学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质2.了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响3.掌握椭圆标准方程中的a,b,c以及e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系复习回顾：1.椭圆的定义：2.椭圆的标准方程：焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：3.椭圆中a,b,c的关系是：探究新知：探究一：观察椭圆的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？oxy1、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是。椭圆上点的纵坐标的范围是。（2）由椭圆的标准方程知：①1,即，②1；即因此位于直线和围成的矩形里。练一练：1.2、对称性（1）从图形上看，椭圆关于，，对称（2）从方程上看，在椭圆的标准方程中①把x换成-x方程不变，说明图像关于轴对称。②把y换成-y方程不变，说明图像关于轴对称。③把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，说明图形关于对称，因此是椭圆的对称轴，是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做。练一练：2.3、顶点：（1）椭圆的顶点:椭圆与对称轴有个交点，分别为：(,)(,)(,)(,)（2）线段叫做椭圆的，其长度为线段叫做椭圆的，其长度为a和b分别叫做椭圆的和练一练：3.探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响了椭圆的扁圆程度？4、椭圆的离心率：（1）定义：叫做椭圆的离心率，用表示，即（2）由于a>c>0，所以离心率e的取值范围是（3）在a不变的情况下,若e越接近1，则c越接近a，从而越，因而椭圆越若e越接近0，则c越接近0，从而越。练一练4.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁？知识小结：标准方程图形范围对称性顶点坐标焦点坐标长轴、短轴离心率典例分析：练一练：已知椭圆方程为则它的长轴长是（），短轴长是（），焦距是（），离心率等于（），焦点坐标（），顶点坐标（），外切矩形的面积为（）。例2：。练一练：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P(5,0),Q(0,4);(2)焦点在y轴上，长轴长是6，离心率是eq\f(2,3)；(3)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.（4）椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为1、已知椭圆的两个焦点与一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为2、若椭圆的两个焦点把长轴三等分，则其离心率为3、若椭圆的焦距等于它的短轴长，则其离心率为4、若椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率为《椭圆的简单几何性质》教学反思-本节课是人教版普通高中课教科书选择性必修第一册第三章3.1.2的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。这是学生第一次正式学习使用代数方法研究圆锥曲线的几何性质，因此，上好本节课显得尤为重要。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，我依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。本节课总体上是以椭圆为载体研究椭圆的几何性质，通过对椭圆方程的研究，让学生自然得出相应的几何性质。然后，我从观察椭圆的特殊点入手，让学生求出椭圆与坐标轴的交点，从图形上感知椭圆的范围，并从方程的角度推导验证，通过翻折和旋转观察出椭圆的对称性，并对对称性进行了证明，给出了从方程的角度出发如何验证对称性出椭圆的对称性，然后给出顶点、范围、长短轴等概念，并揭示了椭圆方程中a,b,c的几何意义。本节课的重点是利用椭圆方程来研究几何性质，所以在归纳一般概念时，应注重强调代数方法和坐标法。例如，由方程可直接求得x的范围；利用对称点的坐标，可以检验曲线的对称性；分别令x=0和y=0可以求出四个顶点（即椭圆与对称轴交点）的坐标。从教学情况来看，学生接受还是比较好