第二节普通集合及其等价关系

第二节普通集合及其等价关系第1页，课件共22页，创作于2023年2月1.1集合论的基本概念什么是集合？集合的表示方法元素与集合的关系子集及其性质第2页，课件共22页，创作于2023年2月1.2集合代数运算并、交、差运算运算律：交换律；结合律；互补律；对偶律第3页，课件共22页，创作于2023年2月1.3集合关系定义1两个元素组成的序列记作,称作二元组.分别称为二元组的第一分量和第二分量。定义2两个二元组和相等当且仅当定义3元组定义4集合的笛卡尔乘积x1,x2（x1,x2）x1,x2(x1,x2)（x1,y1）(x2,y2)x1=x2,y1=y2nA,BAXB={(a,b)/a}第4页，课件共22页，创作于2023年2月定义5设称R为U上的关系，当时，称x,y有关系；当时，称x,y为无关系。定义6U上的关系R称为等价关系，若满足以下性质：（1）自反性：（）;

（2）对称性：时，(x,y属于U)；（3）传递性：，时，则(x,y,z属于U).第5页，课件共22页，创作于2023年2月定义7（划分的定义）设A是一个集合,把A分成若干非空的块,使得A中每个元素必属于且仅属于一个块.形式上,S={S1,S2,,Sm}

其中

SiA,Si,

当

ij

时,SiSj,i=1,2,,m.

且

i=1mSi=A,

称S

是A

的划分.第6页，课件共22页，创作于2023年2月例1设U=(-3,3),B={a=(-3,-2),b=[-2,-1),c=[-1,1),d=[1,2),e=[2,3)}显然,B是U的划分.a,b,c,d,e都是粒（或叫等价类）,它们之间的交都是空,不存在非空交.第7页，课件共22页，创作于2023年2月定理3.1（划分与等价关系的一一对应）

U上的等价关系R必然产生U上的一个划分，U上的一个划分由U上的一个等价关系R产生。

第8页，课件共22页，创作于2023年2月例2设U={1，2，3}，若R为小于关系，则R={(1,2),(1,3),(2,3)};若I为恒等关系，则I={(1,1),(2,2),(3,3)};若E为全域关系，则

E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.第9页，课件共22页，创作于2023年2月注意：1.关系R是一个以二元序对为元素的集合，R通常称为二元关系。2.U/I={{1},{2},{3}}为U的最细划分，U/E={{1,2,3}}为U的最粗划分。第10页，课件共22页，创作于2023年2月例3设论域U={x1,x2,x3,x4},R={(x1,x1),(x2,x2),(x3,x3),(x4,x4),(x3,x4),(x4,x3)}是U的等价关系。U对应一个划分为：X1={x1},X2={x2},X3={x3,x4}.第11页，课件共22页，创作于2023年2月例4设A={1,2,3},求出A的所有等价关系。解:由定理3.1知，只需列出A上的所有划分,即：{{1，2，3}}；{{1}，{2，3}}，{{2}，{1，3}}；{{3}，{1，2}}，{{1}，{2}，{3}}。第12页，课件共22页，创作于2023年2月因此，所有的等价关系为R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}R2=？R3=？R4=？R5={(1,1),(2,2),(3,3)}第13页，课件共22页，创作于2023年2月等价类及其性质定义8（等价类的定义）设R是非空有限论域U上的等价关系，称[x]R={y/yRx}为对象x关于R的等价类，其中x为等价类[x]R的代表元素.（等价类的性质）设R是非空有限集合A上的等价关系，对于A中任意的x,y，有（1）[x]R非空，且[x]R包含于A；（2）若xRy,则[x]R=[y]R；（3）若xRy不成立,则[x]R与[y]R无公共元素；（4）U[x]R=A.第14页，课件共22页，创作于2023年2月例5设U={1，2，3，4，5，6，7，8}是一个积木玩具组成的论域，且

R1=(颜色)1，3，7——红色；

2，4——蓝色；

5，6，8——黄色。第15页，课件共22页，创作于2023年2月R2=（形状）3，4，7，8——三角形；2，6——正方形；1，5——圆形。R3=（大小）2，7，8——大；1，3，4，5，6——小。第16页，课件共22页，创作于2023年2月U/R1={{1,3,7},{2，4}，{5，6，8}}U/R2={?}U/R3={?}U/R1R2={?}第17页，课件共22页，创作于2023年2月定义9(覆盖的定义）设A是一个非空集合,S={S1,S2,,Sm}其中SiA,Si,I=1,2,,m.

且i=1mSi=A则称集合族S是A的覆盖。第18页，课件共22页，创作于2023年2月例6设A={a,b,c,d},判断下列子集族是否构成A

的划分或覆盖。

(1){{a,b},{c},{c,d}};(是覆盖不是划分)(2){{a,b},{d}};（不是覆盖也不是划分）

(3){{a,b},{c,d},空集}：（不是覆盖也不是划分）

(4){{a},{b,c},{d}};（是划分也是覆盖）

(5){{a,b,c,d}}（是划分也是覆盖）覆盖与划分的关系划分是特殊的覆盖。覆盖不一定是划分。第19页，课件共22页，创作于2023年2月例7设U=(-3,3)

是一个实轴上的开区间,

B={a=(-3,1),b=(-1,3),c=(-2,2)}其中a,b,c都是粒,它们之间的交分别是:

ab=(-1,1)ac=(-2,1)bc=(-1,2)abc=(-1,1)第20页，课件共22页，创作于2023年2月其中B

是U

的覆盖.a,b,c

是粒,

它们之间的交(-1,1),(-2,1),(-1,2