第二节线性相关性

第二节线性相关性第1页，课件共19页，创作于2023年2月例1下列向量组中的向量存在线性关系吗?解:线性相关第2页，课件共19页，创作于2023年2月例1下列向量组中的向量存在线性关系吗?解:即线性无关第3页，课件共19页，创作于2023年2月定义2.2(向量组线性相关性定义二)向量组A:称为线性相关,若存在不全为0

的数使称为线性无关,若当且仅当都为0.向量组A:一组向量是否线性相关，就是这组向量能否组合成零向量。第4页，课件共19页，创作于2023年2月例2(两个向量的线性相关性)判断下列向量组是否线性相关解:线性相关不可能同理线性无关对应分量成比例向量共线(平行)第5页，课件共19页，创作于2023年2月两个向量线性相关性的几何意义线性相关(共线或平行)线性无关(不共线不平行)第6页，课件共19页，创作于2023年2月例3(1)判断是否线性相关(2)可能的话,求出

的一个线性关系式.解:是否存在不全为0的使即方程组有无非零解?有非零解线性相关第7页，课件共19页，创作于2023年2月令取则例3(1)判断是否线性相关(2)可能的话,求出

的一个线性关系式.解:是否存在不全为0的使第8页，课件共19页，创作于2023年2月三个向量线性相关性的几何意义线性相关(共面)线性无关(不共面)(例3)(例1)第9页，课件共19页，创作于2023年2月向量组的线性关系式就是齐次线性方程组只有零解线性无关有非零解线性相关定理2.1系数矩阵第10页，课件共19页，创作于2023年2月第三次重要总结:下列命题等价(1)A可逆(若A是方阵)(2)只有零解(3)矩阵A的列线性无关(4)(5)(1’)A不可逆(若A是方阵)(2’)(3’)矩阵A的列线性相关(4’)(5’)有非零解(若A是方阵)(若A是方阵)(6)A通过初等变换可化为E(若A是方阵)A通过初等变换不可化为E(若A是方阵)(6’)第11页，课件共19页，创作于2023年2月例4用观察法判断下列向量组是否线性相关(1)解:4个三维向量线性相关总结:n个m维向量当时,必线性相关.第12页，课件共19页，创作于2023年2月(2)解:线性相关总结:含零向量的向量组必线性相关.例4用观察法判断下列向量组是否线性相关第13页，课件共19页，创作于2023年2月(3)解:两个向量不是倍数关系,线性无关.例4用观察法判断下列向量组是否线性相关第14页，课件共19页，创作于2023年2月例5判断A的列是否线性相关.解:(法一)解:(法二)的列线性无关.的列线性无关.第15页，课件共19页，创作于2023年2月例5第16页，课件共19页，创作于2023年2月例7设向量组A:线性相关,证明:向量组B:也线性相关.证:线性相关,存在不全为0的数使有不全为0,向量组A

也线性相关.向量组B

总结:向量组线性相关,增加向量后仍线性相关.等价命题:向量组线性无关,减少向量后仍线性无关.第17页，课件共19页，创作于2023年2月例8设向量组A:线性无关,向量组B:线性相关,证明:可表示为的线性组合,且表示法唯一.证:线性相关,向量组B

存在不全为0的数使若存在不全为0的数使