第一章现代控制理论预览

第一章现代控制理论预览第1页，课件共61页，创作于2023年2月现代控制理论预览建模分析设计状态空间表达式建立求解转换可控性可观性稳定性状态反馈状态观测器最优控制第2页，课件共61页，创作于2023年2月第一章控制系统的状态空间表达式本章主要内容：状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式的系统结构图状态变量及状态空间表达式的建立状态矢量的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵第3页，课件共61页，创作于2023年2月系统描述中常用的基本概念系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间描述第4页，课件共61页，创作于2023年2月1.1状态变量及状态空间表达式状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。第5页，课件共61页，创作于2023年2月完全描述：如果给定了时刻这组变量值，和时输入的时间函数，那么，系统在的任何瞬间的行为就完全确定了。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用阶微分方程描述的含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。第6页，课件共61页，创作于2023年2月状态矢量：设是系统的一组状态变量，并将它们看做矢量的分量，就称为状态矢量，记作：第7页，课件共61页，创作于2023年2月状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨迹。状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。第8页，课件共61页，创作于2023年2月状态方程：描述系统状态变量与系统输入变量间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。向量形式：

状态向量输入向量第9页，课件共61页，创作于2023年2月输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的个代数方程，称为系统的输出方程。向量形式：输出向量第10页，课件共61页，创作于2023年2月

解：例：建立如图所示的RCL电路的状态方程和输出方程。图1

微分方程传递函数只反映外部情况，无法获知内部联系第11页，课件共61页，创作于2023年2月

定义状态变量

二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量

定义输出变量第12页，课件共61页，创作于2023年2月整理得一阶微分方程组为即

输出方程状态方程状态空间表达式第13页，课件共61页，创作于2023年2月写成矩阵相乘的形式第14页，课件共61页，创作于2023年2月可简写为式中,第15页，课件共61页，创作于2023年2月状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。图1所示电路,若

为输出,取作为状态变量,则其状态空间表达式为第16页，课件共61页，创作于2023年2月若按照如下所示的微分方程：选,则得到一阶微分方程组：即状态变量选择不同，状态方程也不同。第17页，课件共61页，创作于2023年2月两组状态变量之间的关系P：非奇异矩阵第18页，课件共61页，创作于2023年2月其状态变量为,则一般形式的状态空间描述写作：单输入单输出定常线性系统第19页，课件共61页，创作于2023年2月用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：维列向量控制矩阵输入矩阵观测矩阵输出矩阵状态矩阵系统矩阵系数矩阵为标量第20页，课件共61页，创作于2023年2月d是标量，反映输出与输入的直接关联。

第21页，课件共61页，创作于2023年2月写成矩阵形式有：多输入多输出定常线性系统第22页，课件共61页，创作于2023年2月第23页，课件共61页，创作于2023年2月本课程常用符号说明小写细体字母——标量、时间、复变量小写粗体字母——向量大写粗体字母——矩阵大写细体字母——拉氏变换符号、系统符号第24页，课件共61页，创作于2023年2月

和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于上述系统，它们的框图分别如图a和b所示。

状态空间表达式的系统框图

c第25页，课件共61页，创作于2023年2月常用符号：注:负反馈时为－注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器比例器加法器1.2状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图第26页，课件共61页，创作于2023年2月状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：⑴画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；⑶用箭头将这些元件连接起来。第27页，课件共61页，创作于2023年2月例画出一阶微分方程的模拟结构图。模拟结构图微分方程：第28页，课件共61页，创作于2023年2月例1-2画出三阶微分方程的模拟结构图。微分方程：例1-3画出下述状态空间表达式的模拟结构图。第29页，课件共61页，创作于2023年2月系统系统第30页，课件共61页，创作于2023年2月1.3状态变量及状态空间表达式的建立建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立2、由系统机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得第31页，课件共61页，创作于2023年2月一、由系统框图建立状态空间描述［例1-4］：系统框图如下：［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换第32页，课件共61页，创作于2023年2月1、积分环节2、惯性环节第33页，课件共61页，创作于2023年2月3、比例积分环节第34页，课件共61页，创作于2023年2月等效变换如下：［例1-4］：系统框图如下：第35页，课件共61页，创作于2023年2月图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量），则有：第36页，课件共61页，创作于2023年2月写成矩阵形式：第37页，课件共61页，创作于2023年2月系统第38页，课件共61页，创作于2023年2月状态变量的选取原则选择系统储能元件的输出物理量；状态变量不唯一状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！二、由系统机理建立状态空间表达式使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约旦标准型）选择系统输出及其各阶导数；第39页，课件共61页，创作于2023年2月电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)选择状态变量两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。第40页，课件共61页，创作于2023年2月2）根据基尔霍夫电压定律，列写2个回路的微分方程：整理得：L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1第41页，课件共61页，创作于2023年2月3）状态空间表达式为：第42页，课件共61页，创作于2023年2月[例]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间表达式。解：质量块受力图如下：依据牛顿定律，有：第43页，课件共61页，创作于2023年2月选取状态变量位移输入输出第44页，课件共61页，创作于2023年2月输出方程状态方程依据牛顿定律：第45页，课件共61页，创作于2023年2月写成矩阵形式：第46页，课件共61页，创作于2023年2月

1)选取个状态变量；确定输入、输出变量；建立状态空间表达式的步骤状态变量、输入变量、参数输出变量、状态变量、输入变量、参数2)根据系统微分方程列出个一阶微分方程；3)根据系统微分方程，列出个代数方程。第47页，课件共61页，创作于2023年2月对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。三、由系统微分方程或者传递函数建立状态空间表达式n阶SISO控制系统的时域模型为：第48页，课件共61页，创作于2023年2月线性定常系统的状态空间表达式为可实现的条件：系统的传递函数为：第49页，课件共61页，创作于2023年2月应用长除法有当系统传递函数中时，即第50页，课件共61页，创作于2023年2月其状态空间描述为式中是直接联系输入、输出量的前馈系数，是严格有理真分式，其系数用综合除法得式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项第51页，课件共61页，创作于2023年2月微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：1、传递函数中没有零点时的实现系统的传递函数为：第52页，课件共61页，创作于2023年2月选择状态变量

状态方程输出方程第53页，课件共61页，创作于2023年2月2.）化为向量矩阵形式：

系统矩阵控制矩阵输出矩阵状态方程

输出方程

友矩阵第54页，课件共61页，创作于2023年2月特点：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。3.）画系统结构图：第55页，课件共61页，创作于2023年2月例考虑系统试写出其状态空间表达式。则状态空间表达式为：解：选择状态变量：第56页，课件共61页，创作于2023年2月标量系统结构图第57页，课件共61页，创作于2023