人教B版（2023）必修四11.4.1直线与平面垂直（含答案）

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（共19题）

一、选择题（共11题）

如图，在正方体中，与垂直的平面是

A．平面B．平面C．平面D．平面

已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

已知，，则下列结论一定不正确的是

A．，相交B．，异面C．D．

已知直线，则经过且和垂直的平面

A．有个B．有个C．有无数个D．不存在

如图，若所在的平面，则与的位置关系是

A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直

在正方形中，，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有

A．B．

C．D．

如图，在正方形中，，分别为，的中点，是的中点．现沿，，把这个正方形折成一个几何体，使，，三点重合于点，则下列结论中成立的是

A．B．

C．D．

如图，已知线段垂直于定圆所在的平面，，是上的两个点，是点在上的射影，当点运动时，点运动的轨迹是

A．圆B．椭圆C．抛物线D．不是平面图形

如图，三棱锥中，已知，于，，设，，记函数，则下列表述正确的是

A．是关于的增函数B．是关于的减函数

C．关于先递增后递减D．关于先递减后递增

如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是

A．B．四边形是矩形

C．是棱柱D．是棱台

如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且．给出下列四个结论：

①；

②三棱锥的体积为定值；

③在底面内的正投影是面积为定值的三角形

④在平面内存在无数条与平面平行的直线

其中，正确结论的个数是

A．B．C．D．

二、填空题（共4题）

在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于；

②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．

其中，所有正确结论的序号是．

已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为，则是的心．

如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，正确的是．

①；

②；

③；

④．

如图，在中，，，，，，是上的一个动点，则的最小值为．

三、解答题（共4题）

如图，在三棱锥中，，是的中点，且．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：．

如图，在等腰梯形ABCD中，，，，，、分别为腰、的中点．将四边形沿折起，使平面，如图，，分别为线段、的中点．

(1)求证：；

(2)请在图所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明；

(3)若为线段中点，在直线上是否存在点，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由．

如图，四棱锥中，底面为菱形，．

(1)求证：．

(2)若，，，求三棱锥的体积．

答案

一、选择题（共11题）

1.【答案】B

【解析】因为，，，，

所以．

2.【答案】D

【解析】由，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：

在A中，若，，则或，故A错误；

在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；

在C中，若，，则与相交或平行，故C错误；

在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确．

故选：D．

3.【答案】C

【解析】由平面的垂线的定义可知，在平面内肯定不存在与直线平行的直线．

4.【答案】C

【解析】经过的平面都与垂直，而经过的平面有无数个．

5.【答案】C

【解析】因为四边形是菱形，

所以．

因为，

所以

因为，

所以．

因为，

所以．

显然直线与直线不共面，

因此直线与的位置关系是垂直但不相交．

6.【答案】A

【解析】因为，，且，，，所以．

7.【答案】A

【解析】因为，，重合于点，

所以，，，

所以．

8.【答案】A

【解析】如图，设的半径为，取的中点，

则，．

因为，

所以是在平面上的射影，

从而，得，

于是，

即，亦即动点在以为球心、为半径的球面上．

又因为，为定点，

所以动点又在过点且垂直于直线的定平面上，

故点运动的轨迹是圆．

9.【答案】C

【解析】因为，于，，，，

所以可求得，，，，，

所以在中，由余弦定理知．

所以．

所以（当且仅当时取等号），

所以关于先递增后递减．

10.【答案】D

【解析】因为，，所以，

又，所以，

又，平面，所以，

又，所以是棱柱，所以正确；

因为，所以，

又，故，所以B正确．

11.【答案】D

【解析】因为，

所以，故①正确；

因为点到直线的距离是定值，点到平面的距离也是定值，

所以三棱锥的体积为定值，故②正确；

线段在底面上的正投影是线段，

所以在底面内的投影是．

因为线段的长是定值，

所以线段是定值，从而的面积是定值，故③正确；

设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故④对．

二、填空题（共4题）

12.【答案】②③

13.【答案】外

【解析】如图所示，

因为顶点在底面上的射影为，

所以．

所以．

，，，

因为．

所以．

所以是的外心．

14.【答案】①③④

【解析】①项，截面为正方形，则有且，所以，又，，所以，又，，所以，故①项正确；

②项，由④项得出，但不能得出，故②项是错误的；

③项，截面为正方形，则有，所以，又，，所以，又，，所以，故③项正确；

④项，由①，③可得，，又，所以，故④正确；

故答案为：①③④．

15.【答案】

【解析】作于，连接．因为，所以，为的最小值，等于．

三、解答题（共4题）

16.【答案】

(1)因为，是的中点，

所以．

在中，，

由已知，

所以，

所以．

又，，

所以．

(2)因为，为的中点，

所以．

由（）知．

又因为，，

所以．

17.【答案】因为，，

所以，

又，

所以．

因为，是的中点，

所以．

又，，

所以．

因为，，

所以．

又因为，，，

所以，

所以．

18.【答案】

(1)因为四边形是等腰梯形，点为的中点，点为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以．

(2)在图中，，这两个点，使得这两点所在直线与平面垂直．

证明：连接，，

因为，

所以，

因为，，且，

所以四边形是菱形，

所以，

因为，

所以，这两点所在直线与平面垂直．

(3)为线段