作业20：弧长和扇形面积-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

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作业20：弧长和扇形面积-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（）

A．B．C．D．

2．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

3．如图，的半径为8，，是互相垂直的两条直径，点P是上任意一点，过点P作于点M，于点N，点Q是的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

4．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（）

A．B．C．D．

5．如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

6．如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

7．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）．

A．B．4C．D．6

8．如图，半径为10的扇形中，，C为弧AB上一点，，垂足分别为D，E．若图中阴影部分的面积为，则＝（）

A．B．C．D．

9．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（）

A．B．C．D．

10．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线和上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．

①若、两点关于对称，则；

②、两点距离的最大值为；

③若平分，则；

④斜边的中点运动路径的长为．

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

11．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（）度．

A．120°B．135°C．150°D．160°

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）

A．96﹣πB．96﹣25πC．48﹣πD．48﹣π

13．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．C．D．

14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）

A．120°B．150°C．180°D．240°

15．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

二、填空题

16．如图，小方格都是边长为的正方形，则以格点为圆心，半径为和的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为________．

17．如图所示，在中，，，，将绕顶点按顺时针方向旋转至的位置，三点共线，则线段扫过的区域（阴影部分）面积为____．

18．如图所示，以为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交弦于点，连结，则阴影部分的面积是____．

19．如图，⊙O的半径为1，OA＝2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．

20．在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________．

21．如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．

22．如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．

23．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于______．

24．如图，矩形中，，．以为圆心，的长为半径作弧交边于点，则阴影部分的面积是__．

25．如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______．

26．如图，在矩形中，，对角线，的交点为O，分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）．

27．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥的侧面积是____________.

28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是_________

29．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是_________．

30．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）

三、解答题

31．等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点A为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，形成扇形；以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，形成扇形．

(1)求所得的图形的周长；（结果保留π）

(2)照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留π）

32．如图，与相切于点C，，分别交于点D，E，．

(1)求证：；

(2)已知，，求阴影部分的面积．

33．要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到）

34．如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，．

(1)求证：为的切线；

(2)若的半径为，，求劣弧的长．

35．如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接．

(1)求证：平分．

(2)已知半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留π）．

36．如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，过点作，垂足为点，交于点．

(1)求证：；

(2)连接交于点，若，求的长．

37．如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)若，，求的长和扇形的面积．

38．综合与实践

问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.

(1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________.

(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示；

(3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.

39．如图，是的直径，是半圆上的一点，与所在的直线互相垂直，于点，交于点．

(1)求证：平分；

(2)若点为弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．

40．为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）

41．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．

(1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______；

(2)，求的长．

42．如图，以的边为直径作，交于点，交于点，．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若是的中点，的半径为2，连接，求阴影部分的面积（结果保留）．

43．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接．

(1)求和的度数；

(2)若，且，求弦的长度；

(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

44．如图，在中，是它的角平分线，，D在边上，，以为直径的圆O经过点E．

(1)求证：是的切线；

(2)求图中阴影部分的面积;

45．如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为的中点，连接，．

(1)求证：；

(2)若，求的半径；

(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

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作业20：弧长和扇形面积-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的面积计算公式进行计算即可．

【详解】解：圆锥的侧面展开图为扇形，且该扇形的半径为，弧长为，

该扇形的圆心角为．

该圆锥的侧面展开图面积为．

故选：C．

【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟记扇形面积计算公式是解题的关键．

2．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．

【详解】解：如图，连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．

3．如图，的半径为8，，是互相垂直的两条直径，点P是上任意一点，过点P作于点M，于点N，点Q是的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

【答案】A

【分析】由题意易知四边形是矩形，连接，的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得，再由走过的角度代入弧长公式即可．

【详解】连接，如图所示：

∵，于点M，于点N，

∴四边形是矩形，

∴，

又∵点Q为的中点，

∴点Q为的中点，

则，

点Q走过的路径长．

故选：A．

【点睛】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．

4．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据题意可知：B点的运动路径是以A点为圆心，长为半径，风车转动的圆弧，计算即可．

【详解】解：，风车转动，

，

故选：D．

【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：．

5．如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据已知条件得到四边形是矩形，求得图中阴影部分的面积，根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得，于是得到结论．

【详解】解：与是的两条直径，

，

四边形是矩形，

与的面积的和与的面积的和，

图中阴影部分的面积，

，

，

，

图中阴影部分的面积（）．

故选：B．

【点睛】本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．

6．如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】由题意可知，所以图中阴影部分的面积．

【详解】解：∵正六边形内接于，

∴，

∴，

∴图中阴影部分的面积，

故选：C．

【点睛】本题考查了正多边形与圆，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题的关键．

7．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）．

A．B．4C．D．6

【答案】C

【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．

【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，

圆锥的底面周长是，则，

，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．

如图，在圆锥侧面展开图中，，度．

在圆锥侧面展开图中．

故小猫经过的最短距离是．

故选：C．

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

8．如图，半径为10的扇形中，，C为弧AB上一点，，垂足分别为D，E．若图中阴影部分的面积为，则＝（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】连接，得出四边形是矩形，则，得到图中阴影部分的面积＝扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得，然后根据平行线的性质即可求得答案．

【详解】解：连接，

∵，

∴四边形CDOE是矩形，

∴，

在与中，

，

∴，

∴图中阴影部分的面积＝扇形的面积＝，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了扇形的面积，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．

9．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积=扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．

【详解】解：连接，

∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴阴影部分的面积．

故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题的关键．

10．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线和上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．

①若、两点关于对称，则；

②、两点距离的最大值为；

③若平分，则；

④斜边的中点运动路径的长为．

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【答案】D

【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求和，由对称的性质可知：是的垂直平分线，所以；②由，当经过的中点E时，最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，当时，易证四边形是矩形，此时与互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，④如图3，半径为2，圆心角为90°的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公式进行计算即可．

【详解】在中，，，

∴，．

①若C、O两点关于对称，如图1，

∴是的垂直平分线，则；

所以①正确；

②如图1，取的中点为E，连接、，

∵，

∴．

∵，

∴当经过点E时，最大，且C、O两点距离的最大值为4；

所以②正确；

③如图2，当时，，

∴四边形是矩形，

∴与互相平分，但AB与的夹锐角为60°，不垂直；

所以③不正确；

④如图3，斜边的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，

则其弧长为：．

所以④不正确；

综上所述，本题正确的有：①②；

故选：D．

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，确定点D的运动路径是本题的难点．

11．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（）度．

A．120°B．135°C．150°D．160°

【答案】C

【分析】先设圆锥的母线长为lcm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到×20π×l=240π，解得l=24，然后设这个扇形的圆心角的度数是n°，利用弧长公式得到，最后解方程即可．

【详解】解：设圆锥的母线长为lcm，

则×20π×l＝240π，

解得l＝24，

设这个扇形的圆心角的度数是n°，

根据题意得，

解得n＝150，

即这个扇形的圆心角的度数是150°．

故选：C．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）

A．96﹣πB．96﹣25πC．48﹣πD．48﹣π

【答案】D

【分析】根据勾股定理和等腰三角形的性质求出三角形的高AD，三个扇形的面积是一个半圆，根据面积公式即可解得．

【详解】解：作AD⊥BC于点D，

∵AB＝AC＝10，BC＝12，

∴BD＝CD＝6，

∴AD＝＝8，

∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．

故选：D．

【点睛】此题考查了求阴影的面积，解题的关键是把不规则的面积转换成规则图形的面积之差．

13．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，求出它们的面积，再用两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差来求解．

【详解】解：如图：

正方形的面积；①

两个扇形的面积；②

②①，得：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．

14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）

A．120°B．150°C．180°D．240°

【答案】C

【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．

【详解】解：设母线长为R，底面半径为r，

∴底面周长=2πr，底面面积=π，侧面面积=lR=πrR，

∵侧面积是底面积的2倍，

∴2π=πrR，

∴R=2r，

设圆心角为n，有=2πr=πR，

∴n=180°．

故选：C．

【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．

15．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，

在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

∵AB=1，∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，

∵BA=BM，

∴△ABM是等边三角形，

∴∠ABM=60°，

∴∠MBN=30°，

∴MH=BM=，

∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，

故选：A．

【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．

二、填空题

16．如图，小方格都是边长为的正方形，则以格点为圆心，半径为和的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为________．

【答案】

【详解】解：连接，

由图可知：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了图形的旋转和平移，以及扇形面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，得出．

17．如图所示，在中，，，，将绕顶点按顺时针方向旋转至的位置，三点共线，则线段扫过的区域（阴影部分）面积为____．

【答案】

【分析】在中可得，，，由旋转的性质可得，由，计算即可得到答案．

【详解】解：在中，，，，

，

，

由旋转的性质可知：，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，旋转的性质，利用整体与局部的关系，将阴影部分面积转化为规则图形面积的和、差是解答此题的关键．

18．如图所示，以为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交弦于点，连结，则阴影部分的面积是____．

【答案】

【分析】图中阴影部分的面积等于扇形的面积减去直角三角形的面积，扇形的圆心角是，半径为2，利用扇形面积公式可以求出扇形的面积，三角形是等腰直角三角形，，所以，可以求出直角三角形的面积．

【详解】解：在圆心角为的扇形内作半圆，

，

为直径，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是扇形的计算，分析阴影部分的结构，用扇形的面积减去三角形的面积得到阴影部分的面积．

19．如图，⊙O的半径为1，OA＝2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】

【分析】连接，，由的半径为1，，切于B，易求得，又由弦，可得是等边三角形，且，则阴影部分的面积等于扇形的面积，由扇形的面积公式可得出答案．

【详解】连接，，如图，

∵弦，

∴，

∵切于B，

∴，

∵的半径为1，，

∴，

∴，

∴，

∵弦，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴阴影部分的面积=扇形的面积，

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

20．在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________．

【答案】

【分析】先求出直线，再确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解．

【详解】

∵点B的坐标是，

∴，

∵直线经过点A，

∴，

∴直线，

∵，点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形是扇形，

∴当点D与重合时，点与重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形，

∴当点在直线上时，，

∴是等边三角形，

∴，

∴重叠部分的面积为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆是解题的关键．

21．如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．

【答案】

【分析】在中，先得出，，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积=扇形的面积+的面积+扇形的面积．根据扇形的面积和三角形的面积公式可以进行计算即可．

【详解】解：∵在中，，

∴，

∴，

∵，，且直角三角板顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．

22．如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．

【答案】

【分析】如图，设与交于点，连接、，则，求解即可．

【详解】解：设与交于点，连接、，如图所示，

由题意可得：四边形为正方形，且，

=平方厘米，

故答案为：

【点睛】此题考查了不规则图形的面积计算，涉及扇形面积的计算，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．

23．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长等于______．

【答案】

【分析】连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可．

【详解】解：连接，则，

∵将扇形沿着过点B的直线折叠，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴的长；

故答案为：．

【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．

24．如图，矩形中，，．以为圆心，的长为半径作弧交边于点，则阴影部分的面积是__．

【答案】

【分析】根据题意可得，则可以求出，可以判断出，进一步求解，代入弧长计算公式可得出阴影面积．

【详解】解：

如图，连接，

在中，，，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】此题考查扇形的面积，解答本题的关键是求出的度数，要求我们熟练掌握扇形面积公式及解直角三角形的知识．

25．如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______．

【答案】

【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值．

【详解】解：在矩形中，，是中点，

，

，

．

故答案为：

【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

26．如图，在矩形中，，对角线，的交点为O，分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）．

【答案】

【分析】根据矩形的性质得到，，再结合分别以A、D为圆心的长为半径画弧恰好经过点，可推出、是等边三角形，最后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】∵四边形是矩形，，

∴，，O为中点，

∵分别以A、D为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点，

∴，

∴、是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴阴影部分的面积=

=，

故答案为：．

【点睛】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及三角形的面积公式，本题属于中等题型．

27．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥的侧面积是____________.

【答案】20

【分析】根据圆锥底面周长得到半径和母线的关系，然后计算侧面积即可；

【详解】解：∵侧面展开图是半圆，

∴

∴

∵

∴

故答案为20；

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．

28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是_________

【答案】

【分析】连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理求出OD，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算即可．

【详解】解：连接OD、CD，

∵BC为半圆的直径，

∴CD⊥AB，

∵CA＝CB，

∴AD＝DB，又BO＝OC，

∴OD＝AC＝1，ODAC，

∴∠COD＝∠ACB＝90°，

∴图中阴影部分的面积是＝×（1＋2）×1＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式、三角形中位线定理、梯形的面积公式是解题的关键．

29．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是_________．

【答案】

【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可．

【详解】解：连接、．

，

为等边三角形，

，，

，

，

，

阴影部分的面积，

故答案为：，

【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积．

30．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）

【答案】

【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．

【详解】解：∵等腰中，

∴BC=2

∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；

所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC．

故答案是：．

【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

三、解答题

31．等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点A为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E，形成扇形；以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，形成扇形．

(1)求所得的图形的周长；（结果保留π）

(2)照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留π）

【答案】(1)图形CDEFC的周长为厘米

(2)画至第十个图形所围成的图形面积和为平方厘米，所有的弧长和为厘米

【分析】（1）分别根据弧长公式计算出三段弧长，从而可得答案；

（2）分别计算前几个扇形的弧长与面积，再归纳出规律，再利用规律解题即可．

【详解】（1）解：由已知得：扇形的半径长为1，圆心角为；

扇形半径长为2，圆心角为；扇形半径长为3，圆心角为．

∴扇形弧长；

扇形弧长；

扇形弧长；

故图形的周长为：．

（2）根据扇形面积公式可得：

第一个扇形的面积为，由上一问可知其弧长为；

第二个扇形的面积为，弧长为；

第三个扇形的面积为，弧长为；

总结规律可得第个扇形面积为，第个扇形弧长为．

故画至第十个图形所围成的图形面积和为：

；

所有的弧长和为：．

【点睛】本题考查的是扇形的弧长的计算，扇形的面积的计算，规律探究，熟记弧长与扇形面积公式是解本题的关键．

32．如图，与相切于点C，，分别交于点D，E，．

(1)求证：；

(2)已知，，求阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，由切线的性质可知，根据弦与圆心角的关系，可证得，再根据全等三角形的判定与性质可得结果；

（2）由（1）可知：是等腰三角形，所以，再根据直角三角形的性质，可求得，从可求出扇形的面积以及的面积，据此即可求解．

【详解】（1）证明：如图：连接OC，

与相切于点C，

，

，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：由（1）得，

，是直角三角形，

∴根据勾股定理，得，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了切线的性质，弦与圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．

33．要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到）

【答案】

【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为长方形，求出圆柱的侧面积，即可求解．

【详解】解：由题意，得圆锥的侧面积为：，

圆柱的侧面积为：．

∴．

答：制作该粮仓大约需要铁皮．

【点睛】本题主要考查了求圆锥和圆柱的侧面积，解题的关键是掌握扇形面积公式为，圆柱的侧面展开图为长方形．

34．如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，．

(1)求证：为的切线；

(2)若的半径为，，求劣弧的长．

【答案】(1)见解析

(2)劣弧的长为

【分析】（1）如图所示，连接，可知为的直径，可证，再根据角的关系证明，由此即可求证；

（2）连接，根据题意可得是的中线，根据的性质，圆周角的性质可求出的度数，根据弧长公式即可求解．

【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，

∴，

∴为的直径，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∵是的直径，

∴为的切线；

（2）解：连接，

∵，

∴，

∵的半径为2，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴弧的长为．

【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，弧长的计算方法是解题的关键．

35．如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接．

(1)求证：平分．

(2)已知半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留π）．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，可得到，从而得到，再由，可得，即可；

（2）设交于点H，根据垂径定理可得，可证明，可得，从而得到是等边三角形，进而得到，再由弧长公式计算，即可求解．

【详解】（1）证明：连接，

∵与相切，

∴．

∵，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴平分．

（2）解：设交于点H，

∵，∴．

∵，

∴．

∴，

∵，

∴．

∴是等边三角形，

∴，

∴弧的长．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，求弧长，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，求弧长，等边三角形的判定和性质是解题的关键．

36．如图，内接于半圆，已知是半圆的直径．，平分，分别交半圆和于点，过点作，垂足为点，交于点．

(1)求证：；

(2)连接交于点，若，求的长．

【答案】(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于得到，再根据垂直定义得到及角平分线即可得到即可解答；

（2）根据直角三角形的性质及等边对等角即可得到，再利用垂直平分线的定义及等边三角形的判定即可得到是等边三角形，最后利用弧长公式即可解答．

【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴点是的中点，

∴垂直平分，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的长为:，

【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，垂直平分线的定义，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式，掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．

37．如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)若，，求的长和扇形的面积．

【答案】(1)见解析

(2)；

【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解；

（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．

【详解】（1）连接，

∵为直径，

∴，即，

又∵D是中点，

∴是线段的中垂线，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．

38．综合与实践

问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.

(1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________.

(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示；

(3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.

【答案】(1)相等，

(2)

(3)

【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出之间的关系，进而即可求解；

（2）根据，即可求解；

（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；

∵，，，

∴，

故答案为：相等，．

（2）由圆锥的底面周长等于扇形的弧长

得：

∴

（3）∵，，

∴，

∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为

∴

∵

∴

∴在中，，

∴彩带长度的最小值为

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．

39．如图，是的直径，是半圆上的一点，与所在的直线互相垂直，于点，交于点．

(1)求证：平分；

(2)若点为弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据已知条件得出，则，根据等边对等角得出，等量代换得出，即可得证；

（2）连接，，得出四边形为菱形，进而得出为等边三角形，根据，得出，即可求解．

【详解】（1）证明：连接，，

，

，

，

，

，

，

平分；

（2）解：连结，，

为弧的中点，

，

，

，

，

，

，

而，

四边形为平行四边形，而，

四边形为菱形，

，

为等边三角形，

，而，

，

在中，，

，，

，

，

．

【点睛】本题考查了圆的相关定义，弧与弦的关系，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练运用以上知识是解题的关键．

40．为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）

【答案】厘米

【分析】连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．

【详解】解：连接，，，如图所示．

由题意，得：，，

是等边三角形，

．

四边形是矩形，

．

在中，厘米，厘米，

（厘米），

的长（厘米）．

答：点在旋转过程中经过的路线长厘米．

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、求弧长，解题的关键是利用勾股定理求出的长度，掌握弧长公式．

41．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．

(1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______；

(2)，求的长．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出，然后根据弧长公式可进行求解．

（2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．

【详解】（1）解：连接．

，，

，

，

，

，

弧的