2016年高考理科数学专题分类讲解：双曲线

2016年高考理科数学专题分类讲解：双曲线

2016年高考理科数学专题分类讲解：双曲线主编：宁永辉老师专题一：双曲线的定义一、解题原理：1.双曲线的定义是指到两个定点距离之差为定值的动点轨迹。其中，两个定点指的是双曲线的两个焦点，定长指的是方程中的2a。2.双曲线的定义式为：设点P为双曲线上的一点，F1和F2为双曲线的两个焦点。根据双曲线的定义式得到：||PF1|-|PF2||=2a。3.双曲线的定义式使用条件：（1）题目中出现椭圆上一点和两个焦点都有连线的时候。（2）题目中已知两个或一个焦点的坐标和双曲线上其中一点的坐标的时候。二、高考试题在线：例题一：【2015年高考理科数学福建卷第3题】若双曲线E:x^2/9-y^2/16=1上一点P在曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）。解析：根据双曲线的定义式得到：||PF1|-|PF2||=2a。由x^2/9-y^2/16=1得到a^2=9，因此a=3。由双曲线E:x^2/9-y^2/16=1得到||PF1|-|PF2||=6。由于||PF1|-|PF2||=6，|PF1|=3，所以|PF2|=9。答案：B升级训练一：【改编题】若双曲线E:x^2/9-y^2/16=1上一点P在曲线E上，且|PF1|=8，则|PF2|等于。解析：根据双曲线的定义式得到：||PF1|-|PF2||=2a。由x^2/9-y^2/16=1得到a^2=9，因此a=3。由双曲线E:x^2/9-y^2/16=1得到||PF1|-|PF2||=6。由于||PF1|-|PF2||=6，|PF1|=8，所以|PF2|=2或14。答案：2或14例题二：【2014年高考理科数学湖北卷第9题】已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=π，则椭圆和双曲线的离心率的3倒数之和的最大值为（）。解析：设椭圆的半长轴为a1，双曲线的半实轴为a2，椭圆和双曲线的半焦距为c。在△F1PF2中：F1=3/4（选D）根据余弦定理，双曲线焦点F的坐标可以表示为：|F|2=|PF2|2+|PF1|2-2*|PF1||PF2|*cosF1PF2。又因为焦距|F1F2|=2c，且F1PF2=π/3，所以有(2c)2=|PF2|2+|PF1|2-2*|PF1||PF2|*cos(π/3)。化简可得4c2=|PF2|2+|PF1|2-|PF1||PF2|*|PF2|。根据椭圆和双曲线的定义，有|PF1|+|PF2|=2a1，||PF1|-|PF2||=2a2。将上述式子代入原式，可得4c2=2a12+2a22-2(a1-a2)|PF2|，即4c=a1+3a2。又因为离心率e=c/a1=2，所以a2=c/e=1/2a1，代入前式可得4=1/c2+4/e2，即2=4-e2，所以e=√2/2。根据公式e2=1-a2/b2，可得b=√3a1/2。因此，本题答案为D。简化版：根据余弦定理，双曲线焦点F的坐标可以表示为：|F|2=|PF2|2+|PF1|2-2*|PF1||PF2|*cosF1PF2。化简可得4c=a1+3a2。又因为离心率e=2，可得a2=a1/4，b=√3a1/2。代入公式e2=1-a2/b2，可得e=√2/2。因此，cosAF2F1=3/4。题目：已知双曲线C的一个焦点为F1，另一个焦点为F2，离心率为e，双曲线上存在一点P，满足|PF1|+|PF2|=2a。求证：P点到F1F2的距离等于√(e²-1)a。解析：根据双曲线的性质，有|PF1|-|PF2|=2a。将其平方得到(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=4a²，即2|PF1||PF2|=4a²-2b²，其中b²=a²(e²-1)。因此，有|PF1||PF2|=2a²-b²=a²(e²-1)。又因为F1F2=2ae，所以P到F1F2的距离为√(|PF1|-|PF2|)²+F1F2²/4=√(e²-1)a。根据双曲线的定义可得：$||PF_1|-|PF_2||=2a$，即$|PF_1|-|PF_2|=4a$。又因为$|PF_1|-|PF_2|=|PF_1|+|PF_2|-4|PF_1||PF_2|=3b-4\sqrt{a^2-b^2}$，所以$4a=9b-9b\sqrt{a^2-b^2}$，化简得$a=\frac{2}{\sqrt{5}}b$。由双曲线的性质可知，$c=a+b$，$a=b$，所以$c=b$。又因为离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{b}=1$。答案为B。双曲线的基本性质如下表所示：方程焦点在x轴上焦点在y轴上$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$(\pmc,0)$$(0,\pmc)$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$(0,\pmc)$$(\pmc,0)$$a,b,c$关系焦点坐标顶点坐标$a^2+b^2=c^2$$(\pmc,0)$$(0,\pma)$实轴长虚轴长焦距离心率$2a$$2b$$2\sqrt{a^2+b^2}$$e=\frac{c}{a}$渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$$y=\pm\frac{a}{b}x$准现方程$x=\pm\frac{a}{c}y$$y=\pm\frac{b}{c}x$例题一：已知$A,B$为双曲线$E$的左、右顶点，点$M$在$E$上，$\triangleABM$为等腰三角形，且顶角为120度，则$E$的离心率为（A.5B.2C.3D.2由题意可得$|BM|=|AB|=2a$，$\angleABM=120^\circ$，所以$\angleMBN=60^\circ$。在$\triangleMBN$中，$\angleMNB=90^\circ$，$|BM|=2a$，所以$|MN|=|BM|\sin\angleMBN=2a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$，$|BN|=|BM|\cos\angleMBN=2a\cdot\frac{1}{2}=a$。因为$|OB|=a$，$|BN|=a$，所以$|ON|=|OB|+|BN|=2a$。又因为$|MN|=\sqrt{3}a$，所以$M$点坐标为$(2a,3a)$。将$M(2a,3a)$代入双曲线方程可得$\frac{(2a)^2}{a^2}-\frac{(3a)^2}{b^2}=1$，化简得$a=\frac{2}{\sqrt{5}}b$。由双曲线的性质可知，$c=a+b$，$a=b$，所以$c=b$。又因为离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{b}=1$。答案为B。因为：双曲线满足c^2=a^2+b^2，且a=b；所以c=2b。因为：双曲线的离心率为e=c/(a√(b^2/a^2-1))，且a=b，c=2b；所以：双曲线的离心率为e=2。设F是双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为多少。因为：F是双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1的一个焦点；所以：F点的坐标为(±c,0)。因为：线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点(0,±b)；所以：P点的坐标为(±c,±b)。因为：P(±c,±b)是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的一点；所以：c^2/b^2-a^2/b^2=1。所以：双曲线C的离心率为e=c/(a√(b^2/a^2-1))=2。已知M(x,y)是双曲线C:x^2/4-y^2/9=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1·MF2<9/2，则y的取值范围是多少。因为：M(x,y)是双曲线C:x^2/4-y^2/9=1上的一点；所以：-y^2/9=1-x^2/4。因为：F1、F2是C上的两个焦点；所以：F1的坐标为(-3,0)，F2的坐标为(3,0)。因为：MF1=(-3-x,-y)，MF2=(3-x,-y)；所以：MF1·MF2=(3+x)(x+3)-y^2>0。所以：3x-y^2/9>0，即y^2<27-9x。所以：-√(27-9x)<y<√(27-9x)。下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是哪一个。因为：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；所以焦点在y轴上的双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。因为：双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x；所以渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程为y^2/4-x^2/1=1，即4y^2-x^2=4。所以选项A正确。选项A：y=±x⇒y=±2x，x-=1。根据双曲线的性质，焦点在x轴上，渐近线方程为a^2=1⇒a=1，b^2=4⇒b=2。所以渐近线方程为y=±x。选项B：-y^2=1，焦点在x轴上，a^2=4⇒a=2，b^2=1⇒b=1，渐近线方程为y=±x。选项C：-x^2=1，焦点在y轴上，a^2=4⇒a=2，b^2=1⇒b=1，渐近线方程为y=±2x。选项D：y-=1，焦点在y轴上，a^2=1⇒a=1，b^2=4⇒b=2，渐近线方程为y=±x。答案为C。例题四：已知双曲线C：5x^2/4-y^2/4=1的离心率为e=√5/2，且其右焦点为F(5,0)，则双曲线C的方程为（）。根据双曲线的性质，离心率e=c/a，右焦点坐标为(c,0)，所以c=5，a^2=5/2*4=10，b^2=a^2-c^2/4=15，所以双曲线的方程为5x^2/4-y^2/15=1。答案为B。升级训练一：已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于3/2，在双曲线C的方程是（）。根据双曲线的性质，离心率e=c/a，右焦点坐标为(c,0)，所以c=3，a=2，b^2=a^2-c^2/4=15/4，所以双曲线的方程为x^2/4-y^2/15=1。答案为D。已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$的一条渐近线经过点$(2,3)$，且双曲线的一个焦点在抛物线$y^2=47x$的准线上，则双曲线的方程为（）。【本题解析】：因为：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$的渐近线为：$y=\pm\frac{b}{a}x$；双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$的一条渐近线经过点$(2,3)$；所以：$3=\pm\frac{b}{a}\times2\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$。因为：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$的焦点为$(\pmc,0)$；抛物线$y^2=47x$的准线$x=-\frac{47}{4}$；双曲线的一个焦点在抛物线$y^2=47x$的准线上；所以：$c=\frac{47}{4}$。因为：双曲线满足：$c=\sqrt{a^2+b^2}$，$\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2}{b^2}$，$c=7$；所以：$a=2$，$b=3$，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$。【本题答案】：B。$x^2-y^2=1$的一支的焦点为$F(0,\sqrt{2})$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点$F$的直线交另一支双曲线$x^2-y^2=a^2$的渐近线于$A,B$两点，若$|AB|=2a$，则$a=$__________。【本题解析】：双曲线$x^2-y^2=1$的离心率为$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。又因为焦点为$F(0,\sqrt{2})$，所以$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$。所以另一支双曲线的方程为$x^2-y^2=a^2$，其中$a=\frac{c}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}a$。过点$F(0,\sqrt{2})$的直线为$y=\sqrt{2}$，交另一支双曲线的渐近线$y=\pm\sqrt{3}x$于$A,B$两点。因为$|AB|=2a=2\sqrt{3}a$，所以$AB$的中点$M$坐标为$(0,0)$。又因为$AB$与$y=\sqrt{2}$垂直，所以$M$在$x$轴上。设$A$点坐标为$(p,\sqrt{3}p)$，则$B$点坐标为$(p,-\sqrt{3}p)$。由$|AB|=2a$可得$p=\frac{a^2}{\sqrt{3}a}=\sqrt{3}a$。所以$A$点坐标为$(\sqrt{3}a,\sqrt{3}a)$，$B$点坐标为$(\sqrt{3}a,-\sqrt{3}a)$。又因为$F$为$x$轴上的点，所以$AF=\sqrt{(0-\sqrt{3}a)^2+(\sqrt{2}-\sqrt{3}a)^2}=\sqrt{7a^2-2\sqrt{6}a\sqrt{2}}$。同理可得$BF=\sqrt{7a^2+2\sqrt{6}a\sqrt{2}}$。因为$|AB|=2a$，所以$(\sqrt{3}a-\sqrt{3}a)^2+(\sqrt{3}a+\sqrt{3}a)^2=28a^2$，即$12a^2=28a^2-2a\sqrt{42}$，解得$a=\sqrt{\frac{7}{3}}$。所以答案为$\frac{7}{\sqrt{3}}$。【本题答案】：$\frac{7}{\sqrt{3}}$。题目：双曲线$y^2-x^2=1$的两条渐近线于抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线分别交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点。若双曲线的离心率为2，$\triangleAOB$的面积为3，则$p=$（）。解析：首先根据双曲线的标准方程$y^2-x^2=1$，得到离心率为2，即$c=2a$。由于双曲线的渐近线方程为$y=\pmx$，而抛物线$y^2=2px$的准线为$x=-\frac{p}{2}$，则双曲线的渐近线方程为$y=\pm3x$。将双曲线的标准方程与渐近线方程联立，消去$x$得到交点$A$和$B$的坐标分别为$(-\frac{3p}{\sqrt{10}},-\frac{p}{\sqrt{10}})$和$(-\frac{3p}{\sqrt{10}},\frac{p}{\sqrt{10}})$，则$AB=3p$。又因为双曲线的焦点到原点的距离为$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$，则$p=\frac{c^2}{2}=5$。最后由$\triangleAOB$的面积为$\frac{1}{2}AB\cdotOD=3$，其中$OD$为$AB$的中垂线长度，解得$p=2$。答案：C分类讨论：第一种情况：假设双曲线C的焦点在x轴上，双曲线C的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。因为双曲线C的渐近线为$y=\pm\frac{1}{b}x$，所以$\frac{1}{b}=2\Rightarrowb=\frac{1}{2a}$。因为双曲线C经过点$(2,2)$，所以$\frac{4}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow4b-4a-ab=0$。因为$b=\frac{1}{2a}$，所以$a=3,b=\frac{1}{6}$，所以双曲线C的方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{\frac{1}{36}}=1$。第二种情况：假设双曲线C的焦点在x轴上，双曲线C的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。因为双曲线C的渐近线为$y=\pm\frac{1}{a}x$，所以$\frac{1}{a}=2\Rightarrowa=2b$。因为双曲线C经过点$(2,2)$，所以$\frac{4}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow4b-4a-ab=0$。因为$a=2b$，所以无解。已知双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的两条渐近线分别为$l_1:y=2x$，$l_2:y=-2x$。（Ⅰ）求双曲线E的离心率。因为双曲线E的两条渐近线为$y=\pmx$，所以$b=2a$。因为双曲线满足$c=a+b$，$b=2a$，所以$c=5a$。因为$e=\frac{c}{a}$，所以$e=5$。已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一条渐近线平行于直线$l:y=2x+10$，双曲线的一个焦点在直线$l$上，则双曲线的方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$。因为双曲线的渐近线为$y=\pm\frac{a}{b}x$，所以$\frac{a}{b}=2\Rightarrowa=2b$。因为双曲线的一个焦点在直线$l$上，所以焦点的纵坐标为$2(2a)$，即$4a$。因为双曲线满足$c^2=a^2+b^2$，所以$c=\sqrt{5}a$。因为双曲线的焦点到直线$l$的距离为$\frac{c}{b}$，所以$\frac{\sqrt{5}a}{b}=10\Rightarrowb=2\sqrt{5}a$。代入$a^2-b^2=25$，解得$a=5\sqrt{2},b=5$，所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$。已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其中一个焦点在直线$l:y=2x+10$上，另一个焦点的坐标为$(\pmc,0)$，求该双曲线的方程。解析：因为双曲线的一个焦点在直线$l:y=2x+10$上，所以另一个焦点的坐标为$(\pmc,2c+10)$。又因为双曲线满足$c=\sqrt{a^2+b^2}$，$b^2=a^2+4c^2$，$c=5$，所以$a=5$，$b=5\sqrt{3}$。代入双曲线的标准方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，即可得到该双曲线的方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{75}=1$。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。本题解析：给定两个曲线的方程，要求判断它们的性质。首先，将两个方程化简为标准形式，即分别除以分母，得到$x^2-y^2=25-k$和$y^2-x^2=1$。然后，根据曲线的方程式判断其性质。第一个曲线是一个双曲线，因为$x^2$前面的系数是正的，而$y^2$前面的系数是负的；第二个曲线是一个双曲线，因为$x^2$前面的系数是负的，而$y^2$前面的系数是正的。因此，选项D离心率相等是正确的。改写后：本题要求判断两个曲线的性质，曲线方程需要化简为标准形式。第一个曲线为双曲线，系数的正负性可以判断出来；同样地，第二个曲线也为双曲线。因此，正确答案为离心率相等，即选项D。如图所示，已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF$\perp$x轴，AB$\perp$OB，BF//OA（O为坐标原点）。（Ⅰ）求双曲线C的方程。首先，我们可以根据已知条件画出双曲线C的图像，如下所示：双曲线C的右焦点F在x轴右侧，因此双曲线的方程应该是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$）。由于点A，B分别在C的两条渐近线上，因此它们的坐标应该满足$\frac{x}{a}=\pm\frac{y}{b}$。同时，由于AF$\perp$x轴，因此点A的坐标应该是$(\pma,0)$。由于BF//OA，因此点B的坐标应该满足$\frac{y}{x}=\frac{a}{b}$，即$y=\frac{ax}{b}$。将点B的坐标代入双曲线的方程中，可得$\frac{x^2}{a^2}-\frac{a^2x^2}{b^2}=1$，整理得$x^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$。因此，点B的坐标为$(\pm\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}},\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{b})$。（Ⅱ）求双曲线C的离心率。根据双曲线的定义，离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$为焦距。由于已知双曲线C的右焦点为F，因此$c=a$。因此，离心率$e=\frac{c}{a}=1$。综上所述，双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$），离心率为$e=1$。因为双曲线C的方程为x^2-y^2=1，其中渐近线为y=±x，所以当直线y=x和直线x=c相交时，交点坐标为(c,c)。同理，设B点坐标为(x,-x)，则OA=(c,c)-(