数学必修第一册bsd版

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函数概念本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854

专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用最新集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概课标念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.非空y＝f(x)，x∈A2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．状元随笔对函数概念的4点说明：(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．

(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．要点二 同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．[教材答疑][教材P53思考交流]对应关系f是函数的本质特征，在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系．在§1的例3中，f：x→kx，这是一种对应关系．[基础自测]1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(

√

)(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(

×

)解析：函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(

×

)(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(

×)解析：在函数的定义中，函数的值域是{f(x)|x∈A}，它是集合B的子集．解析：由函数的定义可知D正确．答案：D)3．下列各组函数表示同一函数的是(x2－9A．y＝

x－3

与y＝x＋3B．y＝

x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C

x－1

x－1解析：要使函数f(x)＝

x－2

有意义，则4．函数f(x)＝

x－2

的定义域为

(用区间表示)．x－1≥0，x－2≠0，即x≥1且x≠2.所以函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．答案：[1,2)∪(2，＋∞)解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．[多选题]已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中不能构成从M到N的函数的是(

)A．①

B．②C．③

D．④解析：①中，当x＝4时，y＝42＝16∉N，故不能构成函数．②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2∉N，故不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故构成函数．故选ABC.答案：ABC状元随笔(1)A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．方法归纳判断对应关系是不是函数的方法主要看以下三个方面：(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素是唯一的．题型二 判断两个函数是否为同一函数——自主完成1．下列函数中与函数y＝x是同一函数的是(

)A．y＝(

x)2C．y＝

x2n2B．u＝3

v3D．m＝

n解析：A中，y＝(

x)2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；B中，u＝

3

v3

＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)2是同一个函数；C中，y＝

x

＝|x|＝－x，x<0，x，x≥0，它与函数y＝x(x∈Rn2的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；D中，m＝

n

＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．答案：B2．[多选题]下列各组函数是同一函数的是()A．f(x)＝ －2x3与g(x)＝x

－2xB．f(x)＝x与g(x)＝x2C．f(x)＝x0与g(x)＝

1x0D．f(x)＝x2－x＋1与g(t)＝t2－t＋1解析：A中，定义域都是x<0，但解析式不相同；B中，g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x解析式不同；C、D是同一函数．答案：CD题型三 求函数的定义域——师生共研例1

求下列函数的定义域：1－2x；f(x)＝

3x－1＋4－x2f(x)＝

x－1

；(3)y＝(x＋1)0；x＋2(4)y＝2x＋3－＋2－x

x1

1.解析：(1)要使函数有意义，只需3x－1≥01－2x≥01

1解得3≤x≤2，1

13

2则函数的定义域为

，

.(2)要使函数有意义，只需4－x2≥0x－1≠0解得－2≤x≤2且x≠1，则函数的定义域为[－2,1)∪(1,2]．(3)依题意得x＋1≠0，解得x>－2且x≠－1，则函数的定义x＋2>0，域为：(－2，－1)∪(－1，＋∞)．2x＋3≥0，(4)依题意得2－x>0，x≠0，3解得－2≤x<2且x≠0，所以函数的3定义域为－2，0∪(0,2)．方法归纳求函数的定义域要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练1

函数f(x)＝

x－3

|x＋1|－5的定义域是()A．[3，＋∞)C．(3，＋∞)B．[3,4)∪(4，＋∞)D．[3,4)解析：要使函数f(x)有意义，只需x－3≥0|x＋1|≠5，解得x≥3且x≠4，所以函数f(x)的定义域是[3,4)∪(4，＋∞)．答案：B题型四 求函数的值和值域——微点探究微点1

求函数值例2

已知函数f(x)＝x21＋x2.1213(1)求f(2)＋f

，f(3)＋f

的值；1213(2)求f(2)＋f

＋f(3)＋f

＋…＋f(2

021)＋f

1

2021的值．解析：(1)∵f(x)＝x21＋x2，

1∴f(2)＋f

＝

2

22

1＋2

212

1＋21

22＋

＝1，

3f(3)＋f

＝1

3

21＋3

3121＋

31

22＋

＝1.1213(2)由(1)知f(2)＋f

＝1，f(3)＋f

＝1，1又f(4)＋f

＝1，…，f(2

021)＋f4

1

2

021＝1，1213∴f(2)＋f

＋f(3)＋f

＋…＋f(2

021)＋f

1

2

021＝2

020.状元随笔代入法是函数求值的基本方法．微点2

求函数的值域例3

求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]；(2)y＝x2－4x＋5；(3)y＝

2x

；x＋1(4)y＝x－

1－2x.解析：(1)因为x∈(－1,3]，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．(2)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＋1≥1，所以函数y＝x2－4x＋5的值域为[1，＋∞)．(3)因为y＝

2x2(x＋1)－22＝

＝2－

≠2，x＋1

x＋1

x＋1x＋1所以函数y＝

2x

的值域为{y|y≠2}．(4)设

1－2x＝t，则t≥0，x＝1－t22，所以y＝1－t221

1－t＝2(－t2－2t＋1)＝－2(t＋1)2＋1，1因为t≥0，所以y≤2，12所以函数y＝x－

1－2x的值域为－∞，

.方法归纳求函数值域的常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋

cx＋d

(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练2x－6(1)设函数f(x)＝

x＋2

，则当f(x)＝2时，则x的取值为()A．－4

B．4C．－10

D．10解析：(1)令x－6x＋2＝2，解得x＝－10.答案：(1)C(2)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(

)x1A．y＝

x