概率论与数理统计教程课件

§2.9二维随机变量的联合分布二维随机变量的概念二维随机变量的分布函数二维离散随机变量的概率分布二维连续随机变量的概率密度二维随机变量的概念设E是一随机试验，是其样本空间.设是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量（X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.定义:二维随机变量的分布函数设〔X，Y〕是二维随机变量，对于任意实数x，y，称为二维随机变量〔X，Y〕的分布函数，或称为二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数.注：假设将二维随机变量〔X，Y〕看作是平面上的随机点的坐标，yxO（x，y）那么分布函数在点〔x，y〕处的函数值，就是随机点〔X，Y〕落在如下图的以点〔x，y〕为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率定义:联合分布函数的性质1)2〕F〔x，y〕分别是变量x，y的单调不减函数；3〕对任意x，y，有4）对于任意的实数有二维离散随机变量的概率分布L,,,.1j

),y,x

2.jj或可列多对那么称(X,Y)(X,Y)r.v.r.v.为离散型对的所有可能取值是有限若二维.

),,jiji的联合概率函数,L2==)YP(X321====i,yp(xii记r.v.3,ji,yp(xyx为离散型则称(X,Y),)YP(X1==联合概率函数的性质假设二维随机r.v.的联合概率函数知道，那么联合概率分布函数为二维连续随机变量联合概率

密度函数的性质课堂练习§2.10二维随机变量的边缘分布

二维离散随机变量的边缘分布边缘分布函数边缘分布与联合分布的关系二维连续随机变量的边缘概率密度一、二维离散r.v.的边缘

概率函数设二维随机变量〔X，Y〕的联合分布函数为那么X的边缘概率函数为Y的边缘概率函数为XY.二、边缘分布函数二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有联合分布函数，但由于X，Y都是随机变量，因而也有分布函数分别称为二维随机变量（X，Y）关于X以及Y的边缘分布函数定义:三、边缘分布函数与联合分布函数的关系例1已知联合分布函数为求边缘分布函数注意：由二维随机变量(X,Y)的联合概率分布可唯一地确定X和Y的边缘分布;反之,假设X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.四、二维连续r.v.的边缘

概率密度例2.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).解:(1)由题意得:XY-11当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|≤1时,所以,同理,注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布§2.11随机变量的独立性1）若（X，Y）为离散型随机变量，如果对于任意的i，j

（i，j=1，2，…），有

则称离散随机变量X与Y相互独立3）若（X，Y）为连续型随机变量，如果则称连续随机变量X与Y相互独立2）若（X，Y）为连续型随机变量，如果则称连续随机变量X与Y相互独立例1.(X,Y)的联合概率分布为:X01Y010.30.40.20.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.解:(1)X,Y的概率分布分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5(2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.35X,Y不独立.注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.=0.7×0.5例2随机向量(X,Y)的联合密度为(1)问X与Y是否独立？(2)求概率。解:(1)(2)P(X<Y)=所以,X,Y独立.例3.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}f1(x)=|x|≤1|x|>10f2(y)=解:(1)同理,所以,X,Y独立.(2)所以,X,Y不独立.§2.12二维随机变量函数的分布和的分布商的分布平方和的分布最值的分布离散型r.v.和的分布离散型r.v.X,Y,求Z=X+Y的概率分布？X,Y独立例1设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为的泊松分布，Y服从参数为的泊松分布，试求随机变量Z=X+Y的分布.例2设随机变量（X，Y）的联合分布表为XY012301200.050.080.120.010.090.120.150.020.110.130.12求Z=X+Y的概率分布函数；

连续型r.v.和的分布连续型r.v.X,Y,求Z=X+Y的概率密度？结论:假设X,Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,那么X+Y也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数的卷积.例3设随机变量X与Y独立，并且都在区间[-a,a]上服从均匀分布，求它们的和Z=X+Y的分布。商的分布〔了解〕X,Y独立时？平方和的分布例6设随机变量X与Y相互独立，都服从标准正态分布，试求的密度函数.注：最大值的分布设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y)的分布.最小值的分布设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).求m=min(X,Y)的分布.推论1.设X1,X2,…,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),…,Fn(x),那么M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函数为FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)m=min(X1,X2,…,Xn)的分布函数为Fm(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z))2.当X1,X2,…,Xni.i.d.时,设分布函数为F(x),那么FM(z)=(F(z))n,Fm(z)=1-(1-F(z))n.例7设随机变量X，Y相互独立，且都服从U[a，b]求〔1〕Z1=max〔X，Y〕的概率密度；〔2〕Z2=min〔X，Y〕的概率密度；例8有2个相互独立的工作的电子装置，它的寿命X1,X2服从同一指数分布，其概率密度为

若将这个电子装置串联接组成整机，求整机寿命的数学期望。备注利用“分布函数法〞导出两r.v.的和,商等的分布函数或密度函数的公式,其要点为:课堂练习1.设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X012Y01pk1/23/81/8pk

1/32/3且X与Y相互独立,求:

Z=X+Y的分布列;(X,Y)的联合分布列;

M=max(X,Y)的分布列;

m=min(X,Y)的分布列.2.设随机变量X与Y独立，且X~U[0，5]，Y~E(5)，令求〔1〕X+Y的概率密度；〔2〕Z的分布律.本章小结理解随机变量的概念。理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。理解随机变量分布函数的概念和性质。会用分布律、概率密度、分布函数计算随