空间解几和二元函数偏导数全微分及培训课件

空间解几和二元函数偏导数全微分及（优选）空间解几和二元函数偏导数全微分及2横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.空间点的直角坐标Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点二、空间两点间的距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为平面的一般方程三、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.表示斜的平面表示坐标面表示平行于坐标面的水平面设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程过四、空间曲线与方程空间曲线的一般方程

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：1、空间曲线的一般方程例1

方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.类似地可讨论情形.(0,0)既是边界点也是聚点．（优选）空间解几和二元函数偏导数全微分及类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影设空间曲线的一般方程：第五节、多元复合函数及隐函数的求导法则水桶的表面、台灯的罩子面等．将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．(0,0)是聚点但不属于集合．多元函数连续、可导、可微的关系在点在处取极小值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.空间上表示面，而不是线一元函数在某点的导数存在微分存在．实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.对于某个变量求导数，只要将其它的量当作常数。偏导数存在连续.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．在处取极小值例2

方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：2、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面一个圆,五、二次曲面和一般曲面水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：1、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为表示球心在球半径为5的球面方程请你写出球心在球半径为的球面方程解根据题意有所求方程为2、旋转曲面

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全平面一般方程的几种特殊情况：从柱面方程看柱面的特征：一元函数的定义域------------是区间在点曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．表示平行于坐标面的水平面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影空间曲线C可看作空间两曲面的交线.曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.第二节多元函数的基本概念微分存在闭区域上连续函数的性质如图:投影曲线的研究过程.多元函数连续、可导、可微的关系（优选）空间解几和二元函数偏导数全微分及空间直角坐标系共有八个卦限第五节、多元复合函数及隐函数的求导法则如在处设函数f(x,y)在点的某邻域内有定义，是该邻域内不同于的任意一点,如果以任何方式无限的接近,f(x,y)趋近一个确定的常数A,称A是函数的极限.将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面旋转椭球面旋转抛物面定义3、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴柱面举例抛物柱面平面空间上表示面，而不是线第二节多元函数的基本概念

在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。（1）邻域一、多元函数的概念（2）区域例如，即为开集．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，有一元的隐函数,也有二元隐函数空间曲线C可看作空间两曲面的交线.边界上的点都是聚点也都属于集合．实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.一元函数中在某点可导连续，因变量在方程中出现两次以上.设函数f(x,y)在点的某邻域内有定义，是该邻域内不同于的任意一点,如果以任何方式无限的接近,f(x,y)趋近一个确定的常数A,称A是函数的极限.第二节多元函数的基本概念如图:投影曲线的研究过程.补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.（优选）空间解几和二元函数偏导数全微分及连通的开集称为区域或开区域．实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．多元函数连续、可导、可微的关系但是有关于极限和连续就很复杂，在此只是简单了解如果函数,在点有连续偏导数,那么复合函数偏导数存在而且偏导数是连续二元函数连续.（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．例1

求的定义域．解所求定义域为一元函数的定义域------------是区间二元函数的定义域------------是区域，问题比较复杂。（6）二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.上半球面表示斜的平面水平面圆锥面表示马鞍面的定义域二元函数的函数值表示圆域函数值例：已知求：解：与一元函数类似，有定义域和函数值但是有关于极限和连续就很复杂，在此只是简单了解例：已知求：解：例：已知求：解：二、二元函数的极限设函数f(x,y)在点的某邻域内有定义，是该邻域内不同于的任意一点,如果以任何方式无限的接近,f(x,y)趋近一个确定的常数A,称A是函数的极限.如果对于任意给定的正数ε，总存在δ，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有|f(x,y)-A|<ε极限不存在三、二元函数的连续闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理对于导数，我们会重点介绍第三节偏导数

一偏导数的定义及其计算法1.函数增量不存在例不连续但是有两个偏导数一元函数:可导一定连续;二元函数:可导与连续是无关条件.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处求偏导数的法则：对于某个变量求导数，只要将其它的量当作常数。类似一元函数，利用14个导数公式以及四则运算法则及复合求导法则进行求导。解例2求下列函数的偏导数复合函数对于一个变量求导时候,将其他的变量看作常数证原结论成立．解练习求解：解求解求？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，偏导数存在而且偏导数是连续二元函数连续.二.偏导数存在与连续的关系偏导数存在而且偏导数是连续二元函数连续.三、偏导数的几何意义偏导数的几何意义如图纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.四、高阶偏导数解解解练习求解求解:五.偏导数在经济上的应用联合成本函数分析需求函数的边际分析局部弹性(1).需求的自身价格弹性(2).需求的交叉价格弹性(3)需求的收入弹性第五节、多元复合函数及隐函数的求导法则二元的复合函数中间变量将复合函数拆成简单函数一、多元复合函数解法1直接代入得到定理6.4如果函数,在点处有偏导数,函数有连续偏导数,那么复合函数在点也有对x和y的偏导数定理6.4:(链式法则)如图示解解解通过变量关系图可以看出这是个一元函数代入中间变量求导数解:解直接代入得到以上是具体的复合函数下面我们介绍抽象函数如何求偏导数？抽象函数求偏导数解解证:证:二、隐函数求导因变量在方程中出现两次以上.有一元的隐函数,也有二元隐函数一元的隐函数二元的隐函数一个方程的情形隐函数的求导公式解法1两边求导解法2利用偏导数做解令则二元隐函数计算3个偏导数解令则代公式解令第四节、全微分由一元函数微分学中增量与微分的关系得1、全微分的定义全增量的概念全微分的定义事实上2、可微的条件证总成立,同理可得一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，则当时，说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在证（依偏导数的连续性）同理习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．解所求全微分解解所求全微分这是三元的函数关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成解由公式得第六节、多元函数的极值和最值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价