高中数学-正切函数的性质与图象教学设计学情分析教材分析课后反思

四．教学程序1、情境引入一组综艺节目中演员演出时精美舞台造型图片，引出正切函数图像与性质。（一）整体感知引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．1．研究思路问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路．预设答案：可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．追问：我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”．（二）新知探究2．周期性和奇偶性问题2：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流．预设答案：由诱导公式tan（x＋π）＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z．根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π．问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程．预设答案：由诱导公式tan（－x）＝－tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z．可知：正切函数是奇函数．问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．预设的师生活动：学生可以独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径．预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（－，）内的图象与性质即可．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间[0，）内的图象与性质即可．因此接下来的研究方案是：先考察函数y＝tanx，x∈[0，）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．3．正切函数的图象问题5：如何画出函数y＝tanx，x∈[0，）的图象呢？图1追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．图1预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tanx，并给出几何解释．预设答案：如图1所示，设x∈[0，），在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则tanx＝＝．①追问2：①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：图2如图2，过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则图2tanx＝＝＝＝AT．②由②式可知，当x∈[0，）时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈[0，）的图象．追问3：请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈[0，）的图象．并观察图象有哪些特征？预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系．先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征．然后教师用课件直观展现函数y＝tanx，x∈[0，）的图象的特征．特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线”．预设答案：如图3所示，可以画出函数y＝tanx，x∈[0，）的图象．图3观察图象可知：当x∈[0，）时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tanx，x∈[0，）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线，但不会与该直线相交．图3设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象．问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题．之后师生一起再把过程规范条理了．预设答案：如图4，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tanx，x∈[0，）图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tanx，x∈(－，0]的图象；第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tanx，x∈(－，）图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数图4y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z的图象，图4我们把它叫做正切曲线(tangentcurve)．观察图象，可以看出：正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征．4．单调性和值域问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察函数y＝tanx，x∈[0，）的图象，你得到的结论是什么？预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范．预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在-π2由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间-π2（2）值域当x∈-π2，π2因此，正切函数的值域是实数集R．5．应用例1．求函数QUOTEπ2x+π3的定义域、周期及单调区间．追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？预设答案：通过换元转化为函数y＝tanx的性质问题求解．解：自变量x的取值应满足π2x＋π3≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠2k+13，所以，函数的定义域是x|设z=，由tan(z＋π)=tanz，得：tanπ2x+π3即tanπ2x+2因为对任意x∈x|tanπ2x+2所以，函数的周期为2．由-π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k-53＋2k＜x＜13＋2k，k所以，函数在区间-53+2k，练习：第213页练习第1，3，5题．（三）归纳小结问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善．预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．特别是知道了函数图象无限逼近直线x＝＋kπ，k∈Z．在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．（四）布置作业教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．学情分析本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．学生对三角函数性质的讨论方法也已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障．这节课的教学目标设定明确、具体、恰当；教学重点、难点突出；教材处理注重展现知识的发生、发展过程，能恰当地创设情境，在教学中设计了一些较有思考价值的问题串，每个小问题的设置既明确具体，又有适当的难度；教学方法的设计注重了启发式原则，体现了教师的“两导”的作用（即引导者、导演），体现了以学生为主体；学法指导比较恰当，便于逐步地诱导学生正确理解重点知识。在教师有效的调控下，学生的参与积极的、主动的，教学效果好。本节课的背景是：之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的性质．本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．评测练习1．函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－3\r(3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0))D．(0,0)2．下列函数中，同时满足：①在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝taneq\f(x,2)D．y＝|sinx|3．与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是()A．x＝eq\f(π,2)B．x＝－eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,4)D．x＝eq\f(π,8)4．－taneq\f(6π,5)与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5)))的大小关系是________．5．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的定义域、周期及单调区间．在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如：1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.适当的巩固性、应用性练习是学习新知识、巩固新知识所必不可少的。为了促进学生对新知识的理解和掌握，及时安排学生完成以下练习。作为一节新知识课，在教法上，我打破了传统的教学模式。精心设计问题情境，积极引导、启发学生，经过类比、观察、归纳，最终得出。本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾。比如，想让学生了解的内容过多，而对学生的估计不足，使得在教学过程中，未能充分发挥学生的主观能动作用，教学中未能完全放开。（一）知识与技能理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；能画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；利用诱导公式等探究正切函数的性质；经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数