苏科数学九上新教案2.5直线与圆的位置关系第3课时-三角形的内切圆

数学新课标（SK）

九年级上册第2章对称图形——圆2.5直线与圆的位置关系探究新知探究新知重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结新知梳理新知梳理第3课时三角形的内切圆2.5直线与圆的位置关系探究新知活动1知识准备1．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．2．圆的切线__________过切点的半径．切线垂直于2.5直线与圆的位置关系活动2教材导学三角形内切圆的作法已知△ABC，作⊙O，使它与△ABC的三条边都相切．你的作图步骤分成哪几步？图2－5－43第一步：_________________；第二步：_________________；第三步：_________________．略略略2.5直线与圆的位置关系[答案]如图2－5－44所示，步骤略．图2－5－44

2.5直线与圆的位置关系知识链接——[新知梳理]知识点一尝试：如图2－5－45，在一块直角三角形废料中，要在上面挖掉一个最大的圆，用尺规作图画出这个圆，并保留正确的作图痕迹．图2－5－452.5直线与圆的位置关系[答案]如图2－5－46所示．图2－5－46

2.5直线与圆的位置关系新知梳理知识点一三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形定义：与三角形各边都______的圆叫做三角形的______圆，______圆的______叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的______三角形．相切内切内切圆心外切2.5直线与圆的位置关系[说明](1)任意一个三角形有且仅有1个内切圆．任意一个圆有无数个外切三角形．(2)“切”的含义是指圆与三角形的边相切；三角形的内切圆是以三角形为准，圆在它的里面．圆的外切三角形是以圆为准，三角形在它的外面．(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(4)三角形内心的性质：①三角形的内心到三边的距离相等；②三角形的内心与任一顶点的连线平分三角形的内角；③三角形的内心一定在三角形的内部．2.5直线与圆的位置关系知识点二三角形的内切圆与外接圆的比较类别三角形的内切圆三角形的外接圆图形⊙O的名称⊙O叫做△ABC的内切圆⊙O叫做△ABC的外接圆△ABC的名称△ABC叫做⊙O的外切三角形△ABC叫做⊙O的内接三角形圆心O的名称圆心O叫做△ABC的内心圆心O叫做△ABC的外心圆心O的确定作两个角的角平分线作两条边的中垂线内心与外心的性质内心O到三边的距离相等外心O到三个顶点的距离相等重难互动探究2.5直线与圆的位置关系探究问题一三角形内切圆的作图例1

某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．(1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域(如图2－5－47)内确定圆形花坛的圆心P；(2)若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．图2－5－472.5直线与圆的位置关系[解析]由题意可知三角形为等边三角形，设计方案可根据内切圆的性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆，此时圆形花坛的面积最大，然后由圆的性质求出内切圆的半径，从而求出面积．2.5直线与圆的位置关系2.5直线与圆的位置关系[归纳总结]

解答实际应用问题的关键是将实际问题转化为合适的数学模型，本题中要使花坛面积最大，则所作的圆与三角形三边都相切，即作出三角形的内切圆即可．图2－5－482.5直线与圆的位置关系探究问题二三角形内切圆半径的计算例2

如图2－5－49，⊙I是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，⊙I和三边分别切于点D，E，F.(1)求证：四边形IDCE是正方形；(2)设BC＝A，AC＝B，AB＝C，求内切圆I的半径．图2－5－492.5直线与圆的位置关系[解析](1)根据切线的性质即可证明四边形IDCE是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)根据面积相等可计算结果．解：(1)证明：∵BC，AC与⊙I分别相切于点D，E，∴∠IDC＝∠IEC＝∠C＝90°，∴四边形IDCE为矩形．又∵IE＝ID，∴矩形IDCE是正方形．2.5直线与圆的位置关系[归纳总结]

本题通过面积法计算三角形内切圆的半径．2.5直线与圆的位置关系探究问题三三角形内心性质的应用例3[高频考题]已知I为△ABC的内心，连接AI交△ABC的外接圆于点D，如图2－5－50所示，连接BD和CD.求证：BD＝CD＝ID.图2－5－502.5直线与圆的位置关系[解析]连接BI，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BD＝DC，根据三角形外角性质求出∠IBD＝∠BID，根据等腰三角形的判定求出BD＝ID即可．证明：如图2－5－51所示，连接BI.图2－5－512.5直线与圆的位置关系∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠CBI，∴＝，∴BD＝CD.∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∠CAD＝∠BAD＝∠DBC，∴∠DBI＝∠BID，∴BD＝ID，∴BD＝CD＝ID.2.5直线与圆的位置关系[归纳总结]

本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解决此题的关键．2.5直线与圆的位置关系[备选题]

如图2－5－52，己知△ABC，AD平分∠BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I满足BD＝ID.试问点I是否是△ABC的内心？若是，请加以证明；若不是，请说明理由．图2－5－522.5直线与圆的位置关系[解析]连接BI，根据等腰三角形的性质求出∠BID＝∠IBD，推出∠ABI＝∠CBI，得出I是∠BAC和∠ABC的平分线的交点即可．证明：点I是△ABC的内心．证明如下：连接BI，图2－5－532.5直线与圆的位置关系∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，BD＝ID，∴∠BID＝∠IBD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBC，∴∠BID－∠BAD＝∠DBI－∠DBC，∴∠ABI＝∠CBI，即BI是∠ABC的平分线，∴I是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，∴点I也在∠ACB的平分线上，即I是△ABC的内心．课堂小结2.5直线与圆的位置关系三角形的内切圆2.5直线与圆的位置关系图2－5－542.5直线与圆的位置关系2.5直线与圆的位置关系(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径；(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图2－5－54②)，且面积为S，各边长分别为A，B，C，D，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个N边形(N为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为A1，A2，A3，…，AN，合理猜想其内切圆半径公式(不需要说明理由)．2.5直线与圆的位置关系[解析](1)根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理知该三角形是直角三