河南省南阳市赤眉高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

河南省南阳市赤眉高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数y=cos(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是

(

)

A.y=cosx

B.y=cos(2x－)

C.y=sin(2x－)

D.y=sin(x－)

参考答案：D2.函数零点的个数为

A4

B3

C2

D1参考答案：答案：D3.已知函数是R上的奇函数，在区间上具有单调性，且图象的一条对称轴是直线，若锐角△ABC满足，,则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：A∵函数是上的奇函数∴又∵∴，则∵图象的一条对称轴是直线∴∴∵函数在区间上具有单调性又∵函数包含原点的单调区间为∴，则∵∴，则∵，∴，∵是锐角三角形∴，∴，∴，∴，则故选A

4..等差数列中，，则=A.

B.

C.

D.参考答案：D设等差数列的首项为，公差为，，即，又，解得，所以，选D.5.大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，利用列举法求出基本事件总数和甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景区的概率．【解答】解：大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，基本事件总数有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙），共6个基本事件，其中，甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含两个基本事件，∴甲、乙被安排到不同景区的概率：p=1﹣=．故选：D．6.已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则?的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入?分析比较后，即可得到?的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，?=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，?=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，?=﹣1×0+1×2=2故?和取值范围为[0，2]解法二：z=?=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故?和取值范围为[0，2]故选：C7.函数的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）==﹣=﹣f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误故选：D【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．8.已知直线与圆交于、两点，是原点，C是圆上一点，若，则的值为 A． B．

C．

D．参考答案：C9.在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（

）

A.

个

B.

个

C.

个

D.

个参考答案：C10.设集合，，则集合中元素的个数为(A)4

(B)3

(C)2

(D)1参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，，则

.参考答案：-112.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为

辆．

参考答案：7613.对于正项数列{an}，定义为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{an}的通项公式为．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+…+nan=，再写一式，两式相减，即可得到结论．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+nan=∵∴a1+2a2+…+nan=①∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=②①﹣②得﹣=∴故答案为：14.等比数列{42n+1}的公比为

．参考答案：16【考点】等比数列．【分析】利用公比的定义即可得出．【解答】解：等比数列{42n+1}的公比q==16，故答案为：16．15.对于任意的值恒大于零，则x的取值范

围是

.参考答案：16.若三条直线和相交于一点，则行列式的值为

.参考答案：略17.已知数列的首项，其前项和为，若，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BC＝6，且BD＝1，cos∠ADB＝.(1)求证：平面AEC⊥平面BCED；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)证明：∵BD⊥平面ABC∴BD⊥AB，又因为BD＝1，cos∠ADB＝.故AD＝，AB＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C，∴BC⊥平面ACE，又BC?平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)．法二：(几何法)如图，作MN⊥CE交CE于N，连接AN，则MN⊥平面AEC，故直线AM与平面ACE所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN＝2x，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为，得AM＝x，所以AN＝x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN＝x，NC＝4－x而AC＝8，故Rt△ANC中，由AN2＝AC2＋NC2得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM＝2所以存在点M，且EM＝2时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为.(12分)19.某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组[60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为

；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.参考答案：解：（Ⅰ）设第组的频率为，则由频率分布直方图知

…………（2分）

所以成绩在85分以上的同学的概率P≈

…………………（5分）

故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，甲11乙01，甲11乙11，共16个………（9分）甲答对题的个数不少于乙的情况有：甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（11分）故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为.………（12分）略20.已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣x）（I）若a=﹣1，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）≠0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，根据函数的单调性确定a的范围即可；（Ⅲ）根据ln﹣=0，得到ln﹣=0，设t=（0＜t＜1），则lnt﹣=0，令u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣a=，当a=﹣1时，f′（x）=，由f′（x）=0，∴x=﹣或x=1，x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）单调递增极大值单调递减∴x=1时，f（x）极大值=0，无极小值．（Ⅱ）f′（x）=，∵f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0在（0，+∞）内有解，即关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内有解，若a=0，则f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不存在单调递减区间；若a＞0，则函数y=2ax2﹣ax+1的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要使关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内有解，则应有，∴a＜0或a＞8，由于a＞0，∴a＞8；若a＜0，则函数y=2ax2﹣ax+1的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），关于x的不等式2ax2﹣ax+1＜0在（0，+∞）内一定有解．综上，a＜0或a＞8；（Ⅲ）依题意：x1+x2=2x0，假设结论不成立，即f′（x0）=0，则有，①﹣②，得ln+a（﹣）﹣a（x1﹣x2）=0，∴ln+a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）=0，由③得，+a（x1+x2）﹣a=0，∴ln﹣=0，即ln﹣=0，设t=（0＜t＜1），则lnt﹣=0，﹣﹣﹣④令u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），∴u′（t）=＞0，∴u（t）在（0，1）上为增函数．∴u（t）＜u（1）=0，即lnt﹣＜0，与④式矛盾∴假设不成立，∴f′（x0）≠0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21.已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；综合题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对?x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对?n∈N*，不等式恒成立．【点评】此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力